Determine a forma polar dos seguintes números complexos:
(a) (1+i)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a forma polar de (1+i)^{3}. Para isso vamos usar o conceito de forma polar de um número complexo z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta) e o Teorema de De Moivre, que diz que
\bigl[r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr]^{n} = r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).

Passo 2

Calculamos o módulo e o argumento de 1+i:
r = |1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}, \qquad \theta = \arg(1+i) = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{1}\bigr)=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Escrevemos então
1+i = \sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4}+i\sin\tfrac{\pi}{4}\bigr),
e aplicamos o Teorema de De Moivre para n=3:
(1+i)^{3} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{3} \bigl(\cos(3\cdot\tfrac{\pi}{4})+i\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{4})\bigr).

Passo 4

Como \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{3}=2\sqrt{2} e 3\cdot\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}, obtemos
(1+i)^{3} =2\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr).

Resposta

(1+i)^{3} =2\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr).

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