Explique, de acordo com a apresentação de \mathbb{C} que demos em aula, o significado preciso da escrita
i^{2}=-1 .

Passo 1

O enunciado pergunta o que significa, na construção de \mathbb{C} que vimos em aula, a igualdade
i^{2} = -1.
O conteúdo necessário é a definição de anel quociente e a identificação de \mathbb{C} com
\mathbb{R}[X]/(X^{2}+1).

Passo 2

Formamos o ideal
I = (X^{2}+1)\subset \mathbb{R}[X]
e definimos
\mathbb{C} \;=\; \mathbb{R}[X]/I,
cujo elemento genérico é uma classe de equivalência de polinômios modulo X^{2}+1.

Passo 3

Na prática, denotamos por
i = X + I
a classe do polinômio X em \mathbb{R}[X]/I. Esse símbolo i representa exatamente essa classe.

Passo 4

Para calcular i^{2} no quociente, usamos a definição de multiplicação de classes:
i^{2} = (X + I)\cdot(X + I) = X^{2} + I.

Passo 5

Como X^{2}+1\in I, no quociente temos
X^{2} + I \;=\; -1 + I.
E a classe -1 + I é identificada com o número real -1 — pois -1 é constante e seu resto ao dividir por X^{2}+1 é ele próprio.

Passo 6

Portanto, a escrita
i^{2} = -1
significa exatamente a igualdade de classes em \mathbb{R}[X]/(X^{2}+1):
i^{2} = X^{2}+I = -1 + I,
e esta última é a mesma coisa que o elemento -1 de \mathbb{C}.

Resposta

A igualdade i^2=-1 significa que, em \mathbb{C}=\mathbb{R}[X]/(X^2+1), se i é a classe de X então
i^2=(X+I)^2=X^2+I=-1+I,
isto é, a classe de X^2 coincide com a classe de -1.

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