Determine a forma polar dos seguintes números complexos:
(b) (-1)^{\frac{1}{5}}.

Passo 1

O enunciado pede a forma polar de
(-1)^{\tfrac{1}{5}}
Isso envolve representar o número -1 em coordenadas polares e aplicar a fórmula de de Moivre para extração de raízes de índice 5.

Passo 2

Primeiro, escrevemos -1 em forma polar. Como -1 tem módulo 1 e argumento \pi (pois fica no eixo real negativo), podemos escrever
-1 = 1 \,\bigl(\cos(\pi+2\pi m)+i\sin(\pi+2\pi m)\bigr)
com m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para extrair a quinta raiz, usamos que, se
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
então
z^{\tfrac{1}{5}} = r^{\tfrac{1}{5}} \Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{\theta+2\pi k}{5}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{\theta+2\pi k}{5}\bigr)\Bigr),
onde k=0,1,2,3,4.

Passo 4

No nosso caso, r=1, logo
r^{\tfrac{1}{5}} = 1.

Passo 5

O argumento geral de -1 é \theta=\pi+2\pi m. Substituindo na fórmula da raiz e absorvendo m em k, temos os cinco argumentos distintos
\frac{\pi+2\pi k}{5}, \qquad k=0,1,2,3,4.

Passo 6

Portanto, as cinco raízes quintas de -1 em forma polar são
(-1)^{\tfrac{1}{5}} = \cos\!\Bigl(\tfrac{\pi+2\pi k}{5}\Bigr) + i\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi+2\pi k}{5}\Bigr), \quad k=0,1,2,3,4.

Resposta

(-1)^{\tfrac{1}{5}} = \cos\!\Bigl(\tfrac{\pi+2\pi k}{5}\Bigr) + i\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi+2\pi k}{5}\Bigr), \quad k=0,1,2,3,4.

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