Determine a forma polar para z w, z / w e 1 / z :
z=\sqrt{3}+i e w=1+\sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado pede para escrever em forma polar os números complexos z\,w, \tfrac{z}{w} e \tfrac{1}{z}, sabendo que
z = \sqrt{3} + i \qquad\text{e}\qquad w = 1 + \sqrt{3}\,i.
O conteúdo é a representação polar de números complexos e as operações de produto, quociente e inverso, que se fazem somando/subtraindo argumentos e dividindo/invertendo módulos.

Passo 2

Calculamos o módulo e argumento de z.
O módulo é
r_z = \sqrt{\bigl(\sqrt{3}\bigr)^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.
O argumento é
\theta_z = \arctan\!\bigl(\tfrac{\Im z}{\Re z}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = \tfrac{\pi}{6}.
Logo
z = 2\,\cis\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 3

Calculamos o módulo e argumento de w.
O módulo é
r_w = \sqrt{1^2 + \bigl(\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.
O argumento é
\theta_w = \arctan\!\bigl(\tfrac{\Im w}{\Re w}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{1}\bigr) = \tfrac{\pi}{3}.
Logo
w = 2\,\cis\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 4

Para o produto z\,w multiplicamos módulos e somamos argumentos:
r_{zw} = r_z\,r_w = 2 \cdot 2 = 4, \qquad \theta_{zw} = \theta_z + \theta_w = \tfrac{\pi}{6} + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\pi}{2}.
Assim
z\,w = 4\,\cis\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Para o quociente \tfrac{z}{w} dividimos módulos e subtraímos argumentos:
r_{z/w} = \frac{r_z}{r_w} = \frac{2}{2} = 1, \qquad \theta_{z/w} = \theta_z - \theta_w = \tfrac{\pi}{6} - \tfrac{\pi}{3} = -\tfrac{\pi}{6}.
Logo
\frac{z}{w} = 1 \,\cis\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 6

Para o inverso \tfrac{1}{z} usamos r_{1/z}=1/r_z e \theta_{1/z}=-\theta_z:
r_{1/z} = \tfrac{1}{2}, \qquad \theta_{1/z} = -\tfrac{\pi}{6}.
Portanto
\frac{1}{z} = \frac{1}{2}\,\cis\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Resposta

z\,w = 4\,\cis\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr), \quad \frac{z}{w} = 1\,\cis\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr), \quad \frac{1}{z} = \tfrac12\,\cis\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr).

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