Determine o ponto do gráfico da função f(x)=\frac{1}{x} que está mais próximo da origem.

Passo 1

O enunciado pede o ponto \ do gráfico de f(x)=\tfrac1x que minimize a distância até a origem (0,0).
O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, usando derivadas para encontrar extremos de uma função.

Passo 2

Para medir a distância entre um ponto (x,f(x)) e a origem usamos a fórmula da distância euclidiana. Como a raiz quadrada é monótona crescente, podemos minimizar o quadrado da distância:
D(x)=x^{2}+\bigl(f(x)\bigr)^{2}
Substituindo f(x)=\tfrac1x, obtemos
D(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Para encontrar candidatos a mínimo, calculamos a derivada de D(x) e igualamos a zero.
A derivada é
D'(x)=2x-2\frac{1}{x^{3}}.
Igualando D'(x)=0
2x-2\frac{1}{x^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x-\frac{1}{x^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{4}=1.

Passo 4

Da equação x^{4}=1 vem as soluções
x=1 \quad\text{e}\quad x=-1.
Para classificar esses pontos, note que
D''(x)=2+6\frac{1}{x^{4}}>0
para todo x\neq0, logo ambos são mínimos locais (na verdade globais em cada ramo).

Passo 5

Calculamos os pontos correspondentes no gráfico:
para x=1, f(1)=1, o ponto é (1,1);
para x=-1, f(-1)=-1, o ponto é (-1,-1).
A distância mínima até a origem vale \sqrt{D(1)}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Resposta

Os pontos do gráfico de f(x)=\tfrac1x mais próximos da origem são (1,1) e (-1,-1), ambos a uma distância \sqrt{2}.

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