Determine o ponto do gráfico da função
que está mais próximo da origem.
Passo 1
O enunciado pede o ponto \ do gráfico de
que minimize a distância até a origem
.
O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, usando derivadas para encontrar extremos de uma função.
O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, usando derivadas para encontrar extremos de uma função.
Passo 2
Para medir a distância entre um ponto
e a origem usamos a fórmula da distância euclidiana. Como a raiz quadrada é monótona crescente, podemos minimizar o quadrado da distância:
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Para encontrar candidatos a mínimo, calculamos a derivada de
e igualamos a zero.
A derivada é
A derivada é
Igualando
dá
Passo 4
Da equação
vem as soluções
Para classificar esses pontos, note que
para todo
, logo ambos são mínimos locais (na verdade globais em cada ramo).
Passo 5
Calculamos os pontos correspondentes no gráfico:
para ,
, o ponto é
;
para ,
, o ponto é
.
A distância mínima até a origem vale .
para
para
A distância mínima até a origem vale
Resposta
Os pontos do gráfico de
mais próximos da origem são
e
, ambos a uma distância
.