Escreva os números indicados na forma a+ib
(1+i)^{20}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão (1+i)^{20} e escrevê-la na forma a+ib. Vamos usar a representação polar de números complexos e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Calculamos o módulo
r = |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
e o argumento principal \theta = \tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre,
(1+i)^{20} = \bigl(r e^{i\theta}\bigr)^{20} = r^{20}\,e^{i\,20\theta}.
Como
r^{20} = (\sqrt{2})^{20} = 2^{10} = 1024
e
20\theta = 20\cdot \frac{\pi}{4} = 5\pi,
segue que
(1+i)^{20} = 1024\,e^{i5\pi}.

Passo 4

Convertendo de volta para a forma a+ib:
e^{i5\pi} = \cos(5\pi) + i\sin(5\pi) = -1 + i\cdot 0 = -1,
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(1+i)^{20} = 1024 \times (-1) = -1024.

Resposta

-1024 + 0i

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