Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
(1-raiz3 i)^5

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1 - raiz3,i)^5 usando o Teorema de De Moivre. O conteúdo envolve números complexos em forma trigonométrica e o uso do Teorema de De Moivre para elevar à potência. Vamos precisar achar o módulo e o argumento do número complexo, convertê-lo para forma r(cosθ + isinθ) e então aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, calculamos o módulo r e o argumento θ de 1 - raiz3,i:
O módulo é dado por
r = raiz1^2 + (-raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2
O argumento satisfaz
tan θ = ImRe = -raiz31 = -raiz3,
como o número está no quarto quadrante, temos
θ = -pi3

Passo 3

Assim, escrevemos
1 - raiz3,i = 2l(cos(-tfracpi3) + isin(-tfracpi3)r)

Passo 4

Pela fórmula de De Moivre,
(1 - raiz3,i)^5 = 2^5l(cos(5cdot(-tfracpi3)) + isin(5cdot(-tfracpi3))r) = 32l(cos(-tfrac5pi3) + isin(-tfrac5pi3)r)

Passo 5

Agora simplificamos o ângulo:
-tfrac5pi3 = -2pi + tfracpi3,
então
cosl(-tfrac5pi3r) = cosl(tfracpi3r) = tfrac12, sinl(-tfrac5pi3r) = sinl(tfracpi3r) = tfracraiz32

Passo 6

Substituindo de volta,
32l(tfrac12 + itfracraiz32r) = 16 + 16iraiz3

Resposta

16 + 16raiz3,i

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