Determine, na forma a+b i, f^prime(i) sendo f(z)=z^3+4z(1-3 z).
Determine também os pontos singulares de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada de f(z) no ponto z = i na forma a + b i , onde f(z) = z^3+4z(1-3 z) . Além disso, precisamos identificar os pontos singulares de f . Para isso, vamos precisar usar regras de derivação para funções de variáveis complexas e entender o que são pontos singulares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada f'(z) . A função f(z) é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos f(z) = u(z)v(z) , então:
f'(z) = u'(z) v(z) - u(z) v'(z)[v(z)]^2
Aqui, u(z) = z^3 + 4 e v(z) = z(1 - 3z) .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de u(z) e v(z) :
u'(z) = ddz(z^3 + 4) = 3z^2
v(z) = z(1 - 3z) Rightarrow v'(z) = 1 cdot (1 - 3z) + z cdot (-3) = 1 - 3z - 3z = 1 - 6z

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
f'(z) = 3z^2 cdot z(1 - 3z) - (z^3 + 4) cdot (1 - 6z)[z(1 - 3z)]^2
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, multiplicamos 3z^2 por z(1 - 3z) :
3z^2 cdot z(1 - 3z) = 3z^3(1 - 3z) = 3z^3 - 9z^4
Depois, multiplicamos - (z^3 + 4) por (1 - 6z) :
- (z^3 + 4)(1 - 6z) = -z^3(1 - 6z) - 4(1 - 6z) = -z^3 + 6z^4 - 4 + 24z
Agora, somamos tudo no numerador:
3z^3 - 9z^4 - z^3 + 6z^4 - 4 + 24z = (-9z^4 + 6z^4) + (3z^3 - z^3) + 24z - 4 = -3z^4 + 2z^3 + 24z - 4
Então, a derivada fica:
f'(z) = -3z^4 + 2z^3 + 24z - 4[z(1 - 3z)]^2

Passo 5

Agora, vamos substituir z = i na expressão de f'(z) para encontrar f'(i) :
f'(i) = -3i^4 + 2i^3 + 24i - 4[i(1 - 3i)]^2
Sabemos que i^2 = -1 , então:
i^3 = i^2 cdot i = (-1) cdot i = -i
i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1
Substituindo:
f'(i) = -3(1) + 2(-i) + 24i - 4[i(1 - 3i)]^2 = -3 - 2i + 24i - 4[i(1 - 3i)]^2 = -7 + 22i[i(1 - 3i)]^2
Agora, vamos calcular o denominador:
i(1 - 3i) = i - 3i^2 = i - 3(-1) = i + 3 = 3 + i
Então, o denominador ao quadrado é:
(3 + i)^2 = 9 + 6i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i
Agora, temos:
f'(i) = -7 + 22i8 + 6i
Para simplificar essa fração complexa, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
-7 + 22i8 + 6i cdot 8 - 6i8 - 6i = (-7 + 22i)(8 - 6i)(8 + 6i)(8 - 6i)
Calculando o denominador:
(8 + 6i)(8 - 6i) = 64 - 48i + 48i - 36i^2 = 64 - 36(-1) = 64 + 36 = 100
Calculando o numerador:
(-7)(8) + (-7)(-6i) + 22i(8) + 22i(-6i) = -56 + 42i + 176i - 132i^2 = -56 + 218i - 132(-1) = -56 + 218i + 132 = 76 + 218i
Então:
f'(i) = 76 + 218i100 = 76100 + 218100i = 0,76 + 2,18i

Resposta

A derivada de f(z) no ponto z = i é f'(i) = 0,76 + 2,18i .
Além disso, os pontos singulares de f são z = 0 e z = 13 .

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