Determine, na forma
sendo
.
Determine também os pontos singulares de
.
Determine também os pontos singulares de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada de
no ponto
na forma
, onde
. Além disso, precisamos identificar os pontos singulares de
. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação para funções de variáveis complexas e entender o que são pontos singulares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada
. A função
é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos
, então:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Depois, multiplicamos
por
:
Agora, somamos tudo no numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na expressão de
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Substituindo:
Agora, vamos calcular o denominador:
Então, o denominador ao quadrado é:
Agora, temos:
Para simplificar essa fração complexa, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Além disso, os pontos singulares de
são
e
.