Questão:
(a) (20 pontos) Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função
utilizando transformações na função raiz
.
(b) (10 pontos) A função
é injetora? Se sim, calcule sua inversa
explicitando seu domínio e imagem.
(a) (20 pontos) Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função
(b) (10 pontos) A função
Passo 1
O enunciado pede, na parte (a), que a gente encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função
usando transformações da raiz quadrada
. Na parte (b), precisamos verificar se
é injetora e, em caso afirmativo, achar sua inversa
, indicando o domínio e a imagem dessa inversa.
Passo 2
Para ter
real precisamos de
Logo o domínio de
é
Passo 3
Como
varia de
até
, o termo
varia de
até
, e portanto
varia de
(quando
) até
. Assim a imagem é
Passo 4
Para esboçar o gráfico usamos
e as transformações:
. Em
há uma compressão horizontal de fator
e um deslocamento para a direita em
.
. Multiplicamos por
, invertendo e esticando verticalmente.
. Somamos
, subindo tudo em
.
O ponto inicial vira
O ponto inicial
e a curva decai monotonamente para
.
Esboço qualitativo (cada “–” e “|” representam o formato decrescente a partir de
):
Passo 5
Como o gráfico é estritamente decrescente em
,
é injetora.
Passo 6
Para achar
, escrevemos
e isolamos
:
Como o lado direito deve ser
, precisamos de
, ou seja
. Elevando ao quadrado:
Portanto
com domínio
e imagem
.
Resposta
(a)
,
. Gráfico: curva decrescente começando em
e tendendo a
.
(b) Sim, é injetora.
(b) Sim,
com
e
.