1^a Questão:
(a) (20 pontos) Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função
f(x)=1-2 raiz3 x-4
utilizando transformações na função raiz g(x)=raizx.
(b) (10 pontos) A função f é injetora? Se sim, calcule sua inversa f^-1 explicitando seu domínio e imagem.

Passo 1

O enunciado pede, na parte (a), que a gente encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função
f(x)=1-2raiz3x-4
usando transformações da raiz quadrada g(x)=raizx. Na parte (b), precisamos verificar se f é injetora e, em caso afirmativo, achar sua inversa f^-1, indicando o domínio e a imagem dessa inversa.

Passo 2

Para ter raiz3x-4 real precisamos de
3x-4>=0 Longrightarrow x>=43
Logo o domínio de f é
Dom,f = [43,+infty)

Passo 3

Como raiz3x-4 varia de 0 até +infty, o termo -2raiz3x-4 varia de 0 até -infty, e portanto
f(x)=1-2raiz3x-4
varia de 1 (quando raiz3x-4=0) até -infty. Assim a imagem é
Imf = l(-infty,,1r]

Passo 4

Para esboçar o gráfico usamos g(x)=raizx e as transformações:
1. Em g(3x-4) há uma compressão horizontal de fator 1/3 e um deslocamento para a direita em 4/3.
2. Multiplicamos por -2, invertendo e esticando verticalmente.
3. Somamos 1, subindo tudo em 1.
O ponto inicial x=4/3 vira
fl(4/3r)=1-2cdot0=1,
e a curva decai monotonamente para -infty.
Esboço qualitativo (cada “–” e “|” representam o formato decrescente a partir de (4/3,1)):
c y uparrow 1 bul<=t | | | bul<=tto x (43,1)

Passo 5

Como o gráfico é estritamente decrescente em [tfrac43,infty), f é injetora.

Passo 6

Para achar f^-1, escrevemos y=1-2raiz3x-4 e isolamos x:
2raiz3x-4=1-y Longrightarrow raiz3x-4=1-y2
Como o lado direito deve ser >=0, precisamos de 1-y>=0, ou seja y<=1. Elevando ao quadrado:
3x-4 = (1-y2)^2 Longrightarrow x = 13l[,4 + (1-y)^24r] = (1-y)^2+1612
Portanto
f^-1(y)=y^2-2y+1712,
com domínio Dom,f^-1=(-infty,1] e imagem Imf^-1=[4/3,infty).

Resposta

(a) Dom,f=l[4/3,inftyr), Imf=l(-infty,1r]. Gráfico: curva decrescente começando em (4/3,1) e tendendo a -infty.
(b) Sim, f é injetora.
f^-1(y)=y^2-2y+1712,
com Dom,f^-1=(-infty,1] e Imf^-1=[4/3,infty).

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