Questão: Encontre
, a derivada das funções explícitas
dadas por:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
ou seja,
com base e expoente dependendo de
. Para resolver, vamos usar diferenciação logarítmica, o que simplifica a derivação de potências onde tanto a base quanto o expoente variam.
Passo 2
Tomamos o logaritmo natural dos dois lados para “trazer” o expoente para frente:
Aqui usamos a propriedade
.
Passo 3
Agora diferenciamos implicitamente em relação a
. No lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia; no direito, a regra do produto:
E
Passo 4
Igualando as duas derivações:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 5
Finalmente, voltamos à expressão original de
:
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