4^a Questão: Encontre y^prime(x), a derivada das funções explícitas y=f(x) dadas por:
(sen x)^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (sin x)^x,
ou seja, y=f(x) com base e expoente dependendo de x. Para resolver, vamos usar diferenciação logarítmica, o que simplifica a derivação de potências onde tanto a base quanto o expoente variam.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural dos dois lados para “trazer” o expoente para frente:
ln y = lnl((sin x)^xr) = x ,ln(sin x)
Aqui usamos a propriedade ln(a^b)=bln a.

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia; no direito, a regra do produto:
ddx[ln y] = 1y,y',
ddx[xln(sin x)] = 1cdotln(sin x) + xcdotddx[ln(sin x)]
E
ddx[ln(sin x)] = cos xsin x = cot x

Passo 4

Igualando as duas derivações:
y'y = ln(sin x) + x,cot x
Multiplicamos ambos os lados por y para isolar y':
y' = y;l(ln(sin x) + xcot xr)

Passo 5

Finalmente, voltamos à expressão original de y:
y = (sin x)^x
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y' = (sin x)^x,l(ln(sin x) + xcot xr)

Resposta

y' = (sin x)^x,l(ln(sin x) + xcot xr)

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