Determine, na forma retangular, todos os z in C tais que -1-i raiz3 é um dos valores em
(e^z)^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede todos os zinC tais que um dos valores de l(e^zr)^1/2 seja -1 - iraiz3. Como a raiz quadrada é dupla, isso equivale a exigir que, para alguma escolha de ramo,
(-1 - iraiz3)^2 ;=; e^z

Passo 2

Defina w = -1 - iraiz3. Calculamos
w^2 ;=; (-1 - iraiz3)^2 ;=;1 + 2iraiz3 - 3 ;=;-2 + 2iraiz3

Passo 3

Escrevendo -2 + 2iraiz3 em forma exponencial, note que seu módulo é
|w^2| = raiz(-2)^2 + (2raiz3)^2 = raiz4 + 12 = 4,
e seu argumento principal é
arg(w^2) = 2pi3
Logo
w^2 = 4,e^,i2pi3

Passo 4

Usando a periodicidade da exponencial complexa, as soluções de
e^z = w^2
são
e^z = 4,e^,il(2pi3 + 2pi nr), ninZ
Tomando logaritmo, obtemos
z = ln(4) + il(2pi3 + 2pi nr), ninZ

Resposta

z = ln(4) + il(tfrac2pi3 + 2pi nr), ninZ

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