A temperatura T em (x, y, z) é dada por T(x, y, z)=6 x^2+2 y^2+4 x y+8 z^2. Qual é esta taxa máxima de variação ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função que representa a temperatura em um ponto no espaço, T(x, y, z) = 6x^2 + 2y^2 + 4xy + 8z^2 . O que precisamos encontrar é a taxa máxima de variação dessa temperatura. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função. O gradiente nos dá a direção e a intensidade da maior variação da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função T(x, y, z) . O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y, partial Tpartial z )
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a x :
partial Tpartial x = partialpartial x(6x^2 + 2y^2 + 4xy + 8z^2) = 12x + 4y
  1. Derivada parcial em relação a y :
partial Tpartial y = partialpartial y(6x^2 + 2y^2 + 4xy + 8z^2) = 4y + 4x
  1. Derivada parcial em relação a z :
partial Tpartial z = partialpartial z(6x^2 + 2y^2 + 4xy + 8z^2) = 16z
Então, o gradiente fica:
nabla T = (12x + 4y, 4x + 4y, 16z)

Passo 4

A taxa máxima de variação da função T é dada pelo módulo do gradiente. O módulo de um vetor v = (vx, vy, vz) é calculado pela fórmula:
| v | = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Aplicando isso ao nosso gradiente:
| nabla T | = raiz(12x + 4y)^2 + (4x + 4y)^2 + (16z)^2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do módulo:
| nabla T | = raiz(12x + 4y)^2 + (4x + 4y)^2 + (16z)^2
Expandindo os termos:
= raiz144x^2 + 96xy + 16y^2 + 16x^2 + 32xy + 16y^2 + 256z^2
= raiz160x^2 + 128xy + 32y^2 + 256z^2
Podemos fatorar:
= raiz16(10x^2 + 8xy + 2y^2 + 16z^2)
= 4raiz10x^2 + 8xy + 2y^2 + 16z^2

Resposta

A taxa máxima de variação da temperatura T(x, y, z) = 6x^2 + 2y^2 + 4xy + 8z^2 é dada por:
| nabla T | = 4raiz10x^2 + 8xy + 2y^2 + 16z^2

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