A temperatura
em
é dada por
. Qual é esta taxa máxima de variação ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função que representa a temperatura em um ponto no espaço,
. O que precisamos encontrar é a taxa máxima de variação dessa temperatura. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função. O gradiente nos dá a direção e a intensidade da maior variação da função naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função
. O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
A taxa máxima de variação da função
é dada pelo módulo do gradiente. O módulo de um vetor
é calculado pela fórmula:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do módulo:
Expandindo os termos:
Podemos fatorar:
Resposta
A taxa máxima de variação da temperatura
é dada por: