Determine o limite se existir, ou mostre que não existe:
lim x+i y 0 e^-x^2-y^2-1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de uma função de duas variáveis
f(x,y) = e^-x^2-y^2 - 1x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite em múltiplas variáveis e vamos usar coordenadas polares e expansão em série de Taylor de e^-r^2.

Passo 2

Introduzimos coordenadas polares definindo
r = raizx^2+y^2,
de modo que rto 0 equivale a (x,y)to(0,0). A função torna-se
f(x,y) ;=; e^-r^2 - 1r^2

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de e^-r^2 em torno de r=0:
e^-r^2 = 1 - r^2 + tfracr^42 + o(r^4) (rto 0)

Passo 4

Substituindo essa expansão na expressão de f:
e^-r^2 - 1 = -,r^2 + tfracr^42 + o(r^4),
portanto
e^-r^2 - 1r^2 = -,r^2 + tfracr^42 + o(r^4)r^2 = -1 + tfracr^22 + o(r^2)

Passo 5

Ao fazermos rto 0, o termo tfracr^22 + o(r^2) tende a zero, logo o quociente tende a -1. Como não depende da direção de aproximação, o limite existe e vale -1.

Resposta

-1

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