Usando aproximação linear, encontre a variação das funções abaixo considerando as variações de ponto dadas.
variando de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de aproximação linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar como a função $ u(x, y, z) = 4x^{2} z^{3} - 6 y z^{2} + \frac{12}{x^{3}} + 4 z \sqrt{y} $ muda quando os pontos $ (x, y, z) $ variam de $ (-1, 4, 2) $ para $ (-1.02, 4.04, 1.95) $. Para isso, vamos usar o conceito de diferencial, que nos ajuda a aproximar variações na função com pequenas mudanças nas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as variações nas variáveis $ x, y $ e $ z $. A variação de cada variável é a diferença entre o novo valor e o valor inicial:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função $ u $ em relação a cada variável $ x, y $ e $ z $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda em relação a cada variável individualmente.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
Em relação a $ y $:
E em relação a $ z $:
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas parciais no ponto inicial $ (-1, 4, 2) $.
Para $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
Para $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Para $ \frac{\partial u}{\partial z} $:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da aproximação linear, que é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos calcular cada termo:
Agora, somando tudo:
Resposta
A variação aproximada da função $ u $ é $ \Delta u \approx 3.12 $.