Usando aproximação linear, encontre a variação das funções abaixo considerando as variações de ponto dadas.
u(x, y, z)=4 x^2 z^3-6 y z^2+12x^3+4 z raizy variando de (-1,4,2) para (-1,02 ; 4,04 ; 1,95).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de aproximação linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar como a função $ u(x, y, z) = 4x^{2} z^{3} - 6 y z^{2} + \frac{12}{x^{3}} + 4 z \sqrt{y} $ muda quando os pontos $ (x, y, z) $ variam de $ (-1, 4, 2) $ para $ (-1.02, 4.04, 1.95) $. Para isso, vamos usar o conceito de diferencial, que nos ajuda a aproximar variações na função com pequenas mudanças nas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as variações nas variáveis $ x, y $ e $ z $. A variação de cada variável é a diferença entre o novo valor e o valor inicial:
x, y
z
De

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função $ u $ em relação a cada variável $ x, y $ e $ z $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda em relação a cada variável individualmente.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
u
Em relação a $ y $:
x, y
E em relação a $ z $:
z

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas parciais no ponto inicial $ (-1, 4, 2) $.
Para $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
(-1, 4, 2)
Para $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
partial upartial x
Para $ \frac{\partial u}{\partial z} $:
partial upartial x |(-1,4,2) = 8(-1)(2)^3 - 36(-1)^4 = 8(-1)(8) - 36 = -64 - 36 = -100

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da aproximação linear, que é:
De
Substituindo os valores que encontramos:
De

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
(-100)(-0.02) = 2
(-22)(0.04) = -0.88
(-40)(-0.05) = 2
Agora, somando tudo:
De

Resposta

A variação aproximada da função $ u $ é $ \Delta u \approx 3.12 $.

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