Determine a solução de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de terceira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações homogêneas e o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rt} $:
Fatorando:
As raízes são $ r = 0 $, $ r = 1 $ e $ r = 2 $. Então, a solução geral da homogênea é:
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) da equação não homogênea:
O lado direito é a soma de um polinômio de primeiro grau ($ t
e^{t} $). Usamos o método dos coeficientes indeterminados:
- Para o termo $ t $, tentamos uma solução da forma $ A t + B $.
- Para o termo $ e^{t} $, como $ e^{t} $ já está na solução homogênea, multiplicamos por $ t $ para evitar duplicidade: tentamos $ C t e^{t} $.
Então, nossa solução particular é:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $ e substituir na equação original para encontrar os coeficientes $ A $, $ B $ e $ C $.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando mais:
Agora, igualando os coeficientes:
- Para $ e^{t} $: $ -C = 1 $ → $ C = -1 $
- Para $ t $: Não há termo de $ t $ no lado esquerdo, mas há $ t $ no lado direito. Isso implica que nossa escolha da forma de $ y_p $ para o termo $ t $ está correta e que $ A $ deve ajustar esse termo.
- Para os termos constantes: $ 2A = 0 $ → $ A = 0 $
Então, concluímos:
E $ B $ permanece livre, mas na verdade, na nossa escolha inicial, $ B $ representa uma constante que será absorvida na solução homogênea. Portanto, podemos descartá-lo.
Passo 5
Com os valores encontrados, nossa solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.