Determine a solução de
y^prime prime prime-3 y^prime prime+2 y^prime=t+e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''' - 3 y'' + 2 y' = t + e^t
Estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de terceira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações homogêneas e o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y''' - 3 y'' + 2 y' = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rt} $:
y
Fatorando:
e^rt
As raízes são $ r = 0 $, $ r = 1 $ e $ r = 2 $. Então, a solução geral da homogênea é:
r^3 - 3r^2 + 2r = 0
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) da equação não homogênea:
yp
O lado direito é a soma de um polinômio de primeiro grau ($ t y''' - 3 y'' + 2 y' = t + e^t e^{t} $). Usamos o método dos coeficientes indeterminados:
  1. Para o termo $ t $, tentamos uma solução da forma $ A t + B $.
  2. Para o termo $ e^{t} $, como $ e^{t} $ já está na solução homogênea, multiplicamos por $ t $ para evitar duplicidade: tentamos $ C t e^{t} $.
Então, nossa solução particular é:
t

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $ e substituir na equação original para encontrar os coeficientes $ A $, $ B $ e $ C $.
Primeira derivada:
yp(t)
Segunda derivada:
A
Terceira derivada:
B
Substituindo na equação:
C
Simplificando:
yp' = A + C e^t + C t e^t
Agrupando termos semelhantes:
yp'' = C e^t + C e^t + C t e^t = 2C e^t + C t e^t
Simplificando mais:
yp''' = 2C e^t + C e^t + C t e^t = 3C e^t + C t e^t
Agora, igualando os coeficientes:
  1. Para $ e^{t} $: $ -C = 1 $ → $ C = -1 $
  2. Para $ t $: Não há termo de $ t $ no lado esquerdo, mas há $ t $ no lado direito. Isso implica que nossa escolha da forma de $ y_p $ para o termo $ t $ está correta e que $ A $ deve ajustar esse termo.
  3. Para os termos constantes: $ 2A = 0 $ → $ A = 0 $
Então, concluímos:
3C e^t + C t e^t - 3(2C e^t + C t e^t) + 2(A + C e^t + C t e^t) = t + e^t
E $ B $ permanece livre, mas na verdade, na nossa escolha inicial, $ B $ representa uma constante que será absorvida na solução homogênea. Portanto, podemos descartá-lo.

Passo 5

Com os valores encontrados, nossa solução particular fica:
yp(t) = 0 cdot t + B - t e^t = - t e^t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = C1 + C2 e^t + C3 e^2t - t e^t
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.

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