Verifique se a solução geral de
y^prime prime-2 y^prime+y=x e^x
é y(x)=(c1+c2 x) e^x+16 x^3 e^x

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a função que você deu é realmente a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + y = x e^x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea, que aqui é x e^x.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
y'' - 2y' + y = 0
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma y = e^rx. Substituindo na equação, temos:
r^2 e^rx - 2r e^rx + e^rx = 0 e^rx(r^2 - 2r + 1) = 0
Como e^rx nunca é zero, igualamos o polinômio a zero:
r^2 - 2r + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
r = 2 pm raiz4 - 42 = 1
Então, temos uma raiz dupla r = 1. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = (c1 + c2 x) e^x
Onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos achar uma solução particular yp(x) para a equação completa:
y'' - 2y' + y = x e^x
Como o lado direito é x e^x e nossa solução homogênea já inclui termos de e^x e x e^x, precisamos tentar uma solução particular que seja funcionalmente diferente. Por isso, assumimos:
yp(x) = x^3 e^x
Vamos derivar essa função para encontrar yp' e yp''.

Passo 4

Calculando a primeira derivada:
yp'(x) = ddx(x^3 e^x) = 3x^2 e^x + x^3 e^x
E a segunda derivada:
yp''(x) = ddx(3x^2 e^x + x^3 e^x) = 6x e^x + 3x^2 e^x + 3x^2 e^x + x^3 e^x = 6x e^x + 6x^2 e^x + x^3 e^x

Passo 5

Agora, substituímos yp, yp' e yp'' na equação diferencial:
yp'' - 2yp' + yp = (6x e^x + 6x^2 e^x + x^3 e^x) - 2(3x^2 e^x + x^3 e^x) + x^3 e^x
Simplificando:
= 6x e^x + 6x^2 e^x + x^3 e^x - 6x^2 e^x - 2x^3 e^x + x^3 e^x = 6x e^x
Queremos que isso seja igual a x e^x, mas obtemos 6x e^x. Isso significa que precisamos ajustar nosso palpite para a solução particular.

Passo 6

Vamos então tentar outra forma para a solução particular, multiplicando por x a suposição anterior devido à presença da raiz dupla. Assim, tentamos:
yp(x) = A x^3 e^x
Refazendo os cálculos, considerando o coeficiente A, e igualando os termos, encontramos que A = 16.

Passo 7

Portanto, a solução particular ajustada é:
yp(x) = 16 x^3 e^x
E a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = (c1 + c2 x) e^x + 16 x^3 e^x

Resposta

Sim, a solução geral fornecida
y(x) = (c1 + c2 x) e^x + 16 x^3 e^x
satisfaz a equação diferencial dada.

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