Verifique se a solução geral de
é
Passo 1
Beleza, vamos verificar se a função que você deu é realmente a solução geral da equação diferencial
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea, que aqui é
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, igualamos o polinômio a zero:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, temos uma raiz dupla
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
e nossa solução homogênea já inclui termos de
e
, precisamos tentar uma solução particular que seja funcionalmente diferente. Por isso, assumimos:
Vamos derivar essa função para encontrar
e
.
Passo 4
Calculando a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Queremos que isso seja igual a
, mas obtemos
. Isso significa que precisamos ajustar nosso palpite para a solução particular.
Passo 6
Vamos então tentar outra forma para a solução particular, multiplicando por
a suposição anterior devido à presença da raiz dupla. Assim, tentamos:
Refazendo os cálculos, considerando o coeficiente
, e igualando os termos, encontramos que
.
Passo 7
Portanto, a solução particular ajustada é:
E a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
Sim, a solução geral fornecida
satisfaz a equação diferencial dada.