integral(ln x-sen 3 x sen 2 x) d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de ln x - sin 3x cdot sin 2x em relação a x. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração como a integração por partes e identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes separadas para facilitar a resolução:
integral (ln x - sin 3x cdot sin 2x) , dx = integral ln x , dx - integral sin 3x cdot sin 2x , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral ln x , dx. Aqui, usamos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • u = ln x (porque sua derivada é mais simples)
  • dv = dx
Então, calculamos:
  • du = 1x , dx
  • v = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x , dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C1
Onde C1 é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral sin 3x cdot sin 2x , dx. Para simplificar o produto de senos, usamos uma identidade trigonométrica:
sin A cdot sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aqui, A = 3x e B = 2x.

Passo 6

Aplicando a identidade trigonométrica:
sin 3x cdot sin 2x = 12 [cos(3x - 2x) - cos(3x + 2x)] = 12 [cos x - cos 5x]
Então, a integral fica:
integral sin 3x cdot sin 2x , dx = 12 integral (cos x - cos 5x) , dx

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
12 integral cos x , dx = 12 sin x
12 integral cos 5x , dx = 12 cdot 15 sin 5x = 110 sin 5x
Portanto:
integral sin 3x cdot sin 2x , dx = 12 sin x - 110 sin 5x + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Passo 8

Finalmente, juntamos as duas integrais resolvidas:
integral (ln x - sin 3x cdot sin 2x) , dx = (x ln x - x) - ( 12 sin x - 110 sin 5x ) + C
Simplificando:
x ln x - x - 12 sin x + 110 sin 5x + C

Resposta

integral (ln x - sin 3x cdot sin 2x) , dx = x ln x - x - 12 sin x + 110 sin 5x + C

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