Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração como a integração por partes e identidades trigonométricas para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes separadas para facilitar a resolução:
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
. Aqui, usamos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos:
-
(porque sua derivada é mais simples) -
Então, calculamos:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
. Para simplificar o produto de senos, usamos uma identidade trigonométrica:
Aqui,
e
.
Passo 6
Aplicando a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
Portanto:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Finalmente, juntamos as duas integrais resolvidas:
Simplificando: