Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60^circ, determinar o ângulo formado pelos vetores
(a) u e-v
(b) -u e v
(c) -u e-v
(d) 2 u e 3 v

Passo 1

O enunciado nos diz que dois vetores u e v formam um ângulo de 60^circ. O conteúdo aqui é produto escalar e relação entre produto escalar e ângulo:
ucdotv = |u|;|v|costheta,
onde theta é o ângulo entre eles. Vamos usar essa fórmula para encontrar o ângulo entre pares de vetores modificados em (a), (b), (c) e (d).

Passo 2

Primeiro, anote a informação que temos:
ucdotv = |u|;|v|cos60^circ = 12,|u|;|v|
Para dois vetores a e b, o cosseno do ângulo phi entre eles é
cosphi = acdotb|a|;|b|

Passo 3

(a) Ângulo entre u e -v.
Calculamos o produto escalar:
ucdot(-v) = -(ucdotv) = -12,|u|;|v|
As normas são |u| e |-v|=|v|. Logo
cosphi = -tfrac12,|u||v||u||v| = -tfrac12,
que dá phi = 120^circ.

Passo 4

(b) Ângulo entre -u e v.
Aqui
(-u)cdotv = -(ucdotv) = -tfrac12,|u||v|,
e |-u||v| = |u||v|. Novamente
cosphi = -tfrac12
e phi = 120^circ.

Passo 5

(c) Ângulo entre -u e -v.
Calculamos
(-u)cdot(-v) = ucdotv = tfrac12,|u||v|,
e as normas multiplicadas continuam |u||v|. Então
cosphi = tfrac12
e phi = 60^circ.

Passo 6

(d) Ângulo entre 2u e 3v.
O produto escalar é
(2u)cdot(3v) = 6,(ucdotv) = 6cdottfrac12,|u||v| = 3,|u||v|,
enquanto as normas dão
|2u|;|3v| = 2|u|;cdot3|v| = 6,|u||v|
Assim
cosphi = 3,|u||v|6,|u||v| = tfrac12
e phi = 60^circ.

Resposta

(a) 120^circ
(b) 120^circ
(c) 60^circ
(d) 60^circ

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