Determine uma fórmula para det(r A) quando A é uma matriz n times n.

Passo 1

O enunciado pede que, dada uma matriz A de ordem n e um escalar r, a gente encontre uma expressão para det(rA). O conteúdo principal aqui é a propriedade de multilinearidade do determinante em relação às linhas (ou colunas) da matriz.

Passo 2

Sabemos que, se de uma matriz A formos obter outra matriz B multiplicando apenas uma linha (ou coluna) de A por um escalar r, então
det(B)=rdet(A)

Passo 3

No caso de rA, todas as n linhas de A são multiplicadas por r. Como cada multiplicação de linha pelo escalar r faz o determinante ganhar um fator r, ao multiplicar n linhas obtemos um fator total r^n. Logo
det(rA)=r^ndet(A)

Resposta

det(rA)=r^ndet(A)

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