Use determinantes para decidir se o conjunto de vetores é linearmente independente.
[r3 5 -6 4],[r2 -6 0 7],[r-2 -1 3 0],[r0 0 0 -2].

Passo 1

Temos quatro vetores em R^4:
v1=35-64,
v2=2-607,
v3=-2-130,
v4=000-2.
Para decidir se são linearmente independentes, formamos a matriz A cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante. Se det(A)neq0 então são independentes; se det(A)=0 então são dependentes.

Passo 2

Formamos a matriz
A= 3 & 2 & -2 & 0 5 & -6 & -1 & 0 -6 & 0 & 3 & 0 4 & 7 & 0 & -2
e usamos expansão de Laplace pela quarta coluna, onde só o elemento a4,4=-2 é não nulo. Como o fator de sinal é (-1)^4+4=+1, temos
det(A)=-2cdot detl(M4,4r)
sendo M4,4 a matriz 3times 3 obtida eliminando linha 4 e coluna 4.

Passo 3

O menor M4,4 é
M= 3 & 2 & -2 5 & -6 & -1 -6 & 0 & 3
e seu determinante é
det(M) &=3-6 & -10 & 3 -25 & -1-6 & 3 -25 & -6-6 & 0 &=3,( -6cdot3 - 0cdot(-1) ) -2,( 5cdot3 -(-6)cdot(-1) ) -2,( 5cdot0 -(-6)cdot(-6) ) &=3cdot(-18)-2cdot9-2cdot(-36) &=-54-18+72=0
Portanto det(A)=-2cdot0=0.

Resposta

Como det(A)=0, os quatro vetores são linearmente dependentes.

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