Determine uma fórmula para f^{-1}(x) e verifique, em cada caso, se f\left(f^{-1}(x)\right)=x :
(c) f(x)=x^{3}-1

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x^{3}-1.
Pede-se duas coisas: (i) determinar uma fórmula para f^{-1}(x) (a função inversa) e (ii) verificar se \,f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x.

Passo 2

Antes de tentar achar a inversa, é importante perceber que f é invertível (tem inversa) quando for bijetora. Vou justificar de forma simples por que f é injetora e sobrejetora no conjunto dos reais.
  • Injetora (um-para-um): a função g(x)=x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}; isto significa que se a<b então a^{3}<b^{3}. Assim g não toma o mesmo valor para dois x diferentes. Como f(x)=g(x)-1 é só g deslocada verticalmente, essa propriedade de ser estritamente crescente permanece, logo f é injetora.
  • Sobrejetora (atinge todos os reais): para x\to+\infty tem-se x^{3}-1\to+\infty e para x\to-\infty tem-se x^{3}-1\to-\infty; sendo contínua, atinge todos os valores reais. Portanto o contradomínio de f é \mathbb{R}.
Como f é injetora e sobrejetora em \mathbb{R}, ela é bijetora e tem inversa definida em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Agora achamos a inversa resolvendo a equação y=f(x) para x. Escreve-se
y=x^{3}-1.
Isolando x:
y+1=x^{3},
x=\sqrt[3]{\,y+1\,}.
Aqui \sqrt[3]{\cdot} representa a raiz cúbica real, definida para qualquer número real e com a propriedade importante de que \bigl(\sqrt[3]{a}\,\bigr)^{3}=a para todo a\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para obter a fórmula da função inversa, trocamos os papéis de x e y: isto é, escrevemos a inversa como função de x. Assim:
f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\,x+1\,}.

Passo 5

Agora verificamos a composição pedida. Substituindo f^{-1}(x) em f:
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=\bigl(f^{-1}(x)\bigr)^{3}-1.
Usando a expressão da inversa:
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=\bigl(\sqrt[3]{\,x+1\,}\bigr)^{3}-1.
Pela propriedade da raiz cúbica, \bigl(\sqrt[3]{\,x+1\,}\bigr)^{3}=x+1. Logo
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x+1-1=x.
Isto vale para todo x\in\mathbb{R}, que é o domínio de f^{-1}. Portanto a verificação está feita.

Resposta

f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\,x+1\,}
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x para todo x\in\mathbb{R}.

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