Determine uma fórmula para
e verifique, em cada caso, se
:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se duas coisas: (i) determinar uma fórmula para
(a função inversa) e (ii) verificar se
.
Passo 2
Antes de tentar achar a inversa, é importante perceber que
é invertível (tem inversa) quando for bijetora. Vou justificar de forma simples por que
é injetora e sobrejetora no conjunto dos reais.
- Injetora (um-para-um): a função
é estritamente crescente em ; isto significa que se então . Assim não toma o mesmo valor para dois diferentes. Como é só deslocada verticalmente, essa propriedade de ser estritamente crescente permanece, logo é injetora. - Sobrejetora (atinge todos os reais): para
tem-se e para tem-se ; sendo contínua, atinge todos os valores reais. Portanto o contradomínio de é .
Como
é injetora e sobrejetora em
, ela é bijetora e tem inversa definida em todo
.
Passo 3
Agora achamos a inversa resolvendo a equação
para
. Escreve-se
Isolando
:
Aqui
representa a raiz cúbica real, definida para qualquer número real e com a propriedade importante de que
para todo
.
Passo 4
Para obter a fórmula da função inversa, trocamos os papéis de
e
: isto é, escrevemos a inversa como função de
. Assim:
Passo 5
Agora verificamos a composição pedida. Substituindo
em
:
Usando a expressão da inversa:
Pela propriedade da raiz cúbica,
. Logo
Isto vale para todo
, que é o domínio de
. Portanto a verificação está feita.