(a) Expanda raiz[3]8+x como uma série de potências.
(b) Utilize a parte (a) para estimar raiz[3]8,2 com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede (a) expandir raiz[3]8+x em série de potências e (b) usar essa expansão para estimar raiz[3]8,2 com quatro casas decimais de precisão. O conteúdo principal é a fórmula da série binomial generalizada:
(1+u)^alpha = sumn=0^infty alpha choose n u^n,
válida para lvert urvert<1.

Passo 2

Definimos
f(x) = raiz[3]8+x = (8+x)^1/3
Extraímos o fator 8^1/3=2 e reescrevemos como
f(x) = 2,(1 + tfracx8)^1/3
Aqui u = tfracx8 e alpha = tfrac13, e a série converge se lvert x/8rvert<1.

Passo 3

Aplicando a série binomial generalizada, temos
(1+u)^1/3 = sumn=0^infty tfrac13 choose n u^n,
onde
tfrac13 choose n = tfrac13(tfrac13-1)(tfrac13-2)cdots(tfrac13-n+1)n!

Passo 4

Calculamos os primeiros coeficientes multiplicados por 2:
n =0: a0 = 2cdot1 = 2
n =1: tfrac13choose1=tfrac13, a1 = 2cdottfrac13cdottfrac18 = tfrac112
n =2: tfrac13choose2=tfrac13(tfrac13-1)2=-tfrac19, a2 = 2cdotl(-tfrac19r)cdottfrac18^2=-tfrac1288
n =3: tfrac13choose3=tfrac13(tfrac13-1)(tfrac13-2)6=tfrac10162, a3 = 2cdottfrac10162cdottfrac18^3=tfrac520736

Passo 5

Assim a expansão até a ordem x^3 é
raiz[3]8+x =2 + 112,x - 1288,x^2 + 520736,x^3 + O(x^4)

Passo 6

Para estimar raiz[3]8,2, tomamos x=0,2. Calculamos termo a termo:
2, 112cdot0,2 = 0,0166667, -1288cdot(0,2)^2 = -0,0001389, 520736cdot(0,2)^3 = 0,0000019

Passo 7

Somando esses valores,
2 + 0,0166667 - 0,0001389 + 0,0000019 = 2,0165297ldots
Arredondando para quatro casas decimais obtemos 2,0165.

Resposta

(a)
raiz[3]8+x =2 + 112,x - 1288,x^2 + 520736,x^3 + O(x^4)
(b) raiz[3]8,2approx 2,0165

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