4.3 Determine uma fórmula para a Soma de Riemann da função
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Em seguida, considere o limite dessas somas quando
para calcular a área sob a curva ao longo do referido intervalo.
Solução: Dividimos o intervalo [0,3] em
subintervalos de comprimentos iguais a
e tomamos os pontos
à esquerda de cada partição. Assim, tomamos
em que
Então, sendo
, temos que
Substituindo
e
, segue que a igualdade acima fica
Logo, o limite dessas somas, quando
, é dado por
isto é, a área sob a curva
no intervalo
é 12 u.a.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a fórmula da Soma de Riemann de f(x)=x²+1 no intervalo [0,3], dividindo em n subintervalos iguais e usando os extremos à esquerda, e depois tomar o limite quando n→∞ para obter a área sob a curva. Vamos usar o conceito de integral definida como limite de somas de Riemann e as fórmulas conhecidas para somatórios de i e i².
Passo 2
Primeiro calculamos o tamanho de cada subintervalo:
Como usamos o extremo à esquerda em cada subintervalo, definimos
para i=1,2,…,n.
Passo 3
A soma de Riemann S_n é dada por
Vamos expandir:
Passo 4
Para avaliar
usamos
e
Substituindo em S_n:
Passo 5
Agora simplificamos S_n. Depois de expandir e reagrupar termos, chega-se a
Podemos também combinar 9+3=12 e observar os termos que tendem a zero quando n→∞.
Passo 6
Por fim, tomamos o limite:
Isso mostra que a área sob a curva f(x)=x²+1 no intervalo [0,3] é 12.
Passo 7
Como fórmula geral da soma de Riemann obtemos
eq depois de n→∞ resulta em 12.
Resposta
A fórmula da Soma de Riemann é
E o limite quando n→∞ é
portanto a área sob a curva no intervalo [0,3] é 12 u.a.