4.3 Determine uma fórmula para a Soma de Riemann da função f(x)=x^2+1 ao longo do intervalo [0,3], obtida dividindo-se o intervalo em n subintervalos iguais e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Em seguida, considere o limite dessas somas quando n +infty para calcular a área sob a curva ao longo do referido intervalo.
Solução: Dividimos o intervalo [0,3] em n subintervalos de comprimentos iguais a De e tomamos os pontos lambdai à esquerda de cada partição. Assim, tomamos
sumi=1^n f(lambdai) De
em que
De
Então, sendo f(x)=x^2+1, temos que
sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =sumi=1^n[(3(i-1)n)^2+1] cdot 3n=sumi=1^n(9(i-1)^2n^2+1) cdot 3n & =sumi=1^n(27(i-1)^2n^3+3n)=27n^3 cdot sumi=1^n(i-1)^2+sumi=1^n 3n & =27n^3 cdot(sumi=1^n i^2-2 cdot sumi=1^n i+sumi=1^n 1)+3n cdot sumi=1^n 1
Substituindo sumi=0^n 1=n, sumi=0^n i=n(n+1)2 e sumi=0^n i^2=n(n+1)(2 n+1)6, segue que a igualdade acima fica
sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =27n^3(n(n+1)(2 n+1)6-2 n(n+1)2+n)+3n cdot n & =9+272 n+276 n^2-27n+3
Logo, o limite dessas somas, quando n +infty, é dado por
lim n +infty sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =lim n +infty(9+272 n+276 n^2-27n+3) & =lim n +infty 9+lim n +infty 272 n+lim n +infty 276 n^2-lim n +infty 27n+lim n +infty 3 & =9+3 & =12
isto é, a área sob a curva f no intervalo [0,3] é 12 u.a.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a fórmula da Soma de Riemann de f(x)=x²+1 no intervalo [0,3], dividindo em n subintervalos iguais e usando os extremos à esquerda, e depois tomar o limite quando n→∞ para obter a área sob a curva. Vamos usar o conceito de integral definida como limite de somas de Riemann e as fórmulas conhecidas para somatórios de i e i².

Passo 2

Primeiro calculamos o tamanho de cada subintervalo:
De
Como usamos o extremo à esquerda em cada subintervalo, definimos
lambdai=xi-1=(i-1)De
para i=1,2,…,n.

Passo 3

A soma de Riemann S_n é dada por
Sn=sumi=1^nf(lambdai),De
Vamos expandir:
Sn=sumi=1^nl(9(i-1)^2n^2+1r)3n=27n^3sumi=1^n(i-1)^2+3nsumi=1^n1

Passo 4

Para avaliar sumi=1^n(i-1)^2 usamos
sumi=1^n(i-1)^2=sumi=1^ni^2-2sumi=1^ni+sumi=1^n1=n(n+1)(2n+1)6-n(n+1)+n,
e
sumi=1^n1=n
Substituindo em S_n:
Sn=27n^3l(n(n+1)(2n+1)6-n(n+1)+nr)+3n,n

Passo 5

Agora simplificamos S_n. Depois de expandir e reagrupar termos, chega-se a
Sn=9+272n+276n^2-27n+3
Podemos também combinar 9+3=12 e observar os termos que tendem a zero quando n→∞.

Passo 6

Por fim, tomamos o limite:
limntoinftySn=limntoinftyl(12-272n+276n^2r)=12
Isso mostra que a área sob a curva f(x)=x²+1 no intervalo [0,3] é 12.

Passo 7

Como fórmula geral da soma de Riemann obtemos
Sn=sumi=1^nl(9(i-1)^2n^2+1r)3n=12-272n+276n^2,
eq depois de n→∞ resulta em 12.

Resposta

A fórmula da Soma de Riemann é
Sn=sumi=1^nl(tfrac9(i-1)^2n^2+1r)3n=12-272n+276n^2
E o limite quando n→∞ é
limntoinftySn=12,
portanto a área sob a curva no intervalo [0,3] é 12 u.a.

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