Verifique, derivando a função que aparece no lado direito da igualdade, que
Passo 1
O exercício pede para verificar que a função proposta é uma antiderivada de
, ou seja, que ao diferenciarmos ela volta o integrando. Este conteúdo envolve integral de uma função composta e aplicação da regra da cadeia na diferenciação.
Passo 2
Escrevemos a função proposta como antiderivada.
Passo 3
Vamos diferenciar
usando a regra da cadeia. Primeiro note que
. Aplicando derivada de
e multiplicando pela derivada interna de
:
Passo 4
Como
, obtemos
$$F’(x) = -\frac{1}{3}\cdot(-1),(3x+5)^{-2}\cdot3 = \frac{1}{3}\cdot3,(3x+5)^{-2} = (3x+5)^{-2}.
$$
Passo 5
Vimos que
, que é exatamente o integrando original. Logo a antiderivada está verificada.
Resposta
-\frac{1}{3}\frac{1}{3x+5}+C