Verifique, derivando a função que aparece no lado direito da igualdade, que
integral 1(3 x+5)^2 d x=-13 13 x+5+C

Passo 1

O exercício pede para verificar que a função proposta é uma antiderivada de 1(3x+5)^2, ou seja, que ao diferenciarmos ela volta o integrando. Este conteúdo envolve integral de uma função composta e aplicação da regra da cadeia na diferenciação.

Passo 2

Escrevemos a função proposta como antiderivada.
F(x) = -13,13x+5

Passo 3

Vamos diferenciar F(x) usando a regra da cadeia. Primeiro note que F(x) = -tfrac13(3x+5)^-1. Aplicando derivada de u^-1 e multiplicando pela derivada interna de u=3x+5:
F'(x) = -13cdot(-1),(3x+5)^-2cdotddx(3x+5)

Passo 4

Como ddx(3x+5)=3, obtemos
$$F’(x) = -\frac{1}{3}\cdot(-1),(3x+5)^{-2}\cdot3 = \frac{1}{3}\cdot3,(3x+5)^{-2} = (3x+5)^{-2}.
$$

Passo 5

Vimos que F'(x) = 1(3x+5)^2, que é exatamente o integrando original. Logo a antiderivada está verificada.

Resposta

-\frac{1}{3}\frac{1}{3x+5}+C

Exercícios relacionados