Determine as fórmulas para f circ g e g circ f e estabeleça os domínios das compostas.
f(x)=x+1x, g(x)=x+1x+2

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente compor as funções
f(x)=x+tfrac1x e g(x)=tfracx+1x+2, ou seja, achar as fórmulas de
(fcirc g)(x) e (gcirc f)(x) e também estabelecer o domínio de cada uma.
O conteúdo aqui é composição de funções racionais e análise de domínio (evitar divisão por zero). Vamos usar a definição de composição
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r), depois simplificar as frações e ver quais x são proibidos.

Passo 2

Calcular (fcirc g)(x):
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r) = g(x)+1g(x) = x+1x+2 + 1x+1x+2 = x+1x+2 + x+2x+1
Para somar: o denominador comum é (x+2)(x+1), então
(fcirc g)(x) = (x+1)^2 + (x+2)^2(x+2)(x+1) = x^2+2x+1 ;+; x^2+4x+4x^2+3x+2 = 2x^2+6x+5x^2+3x+2

Passo 3

Domínio de :
  1. tem que estar no domínio de : .
  2. tem que estar no domínio de : .
    Resolve .
    Logo

Passo 4

Calcular (gcirc f)(x):
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) = f(x)+1f(x)+2, f(x)=x+1x
Então
f(x)+1 = x+1x+1 = x^2+x+1x, f(x)+2 = x+1x+2 = x^2+2x+1x=(x+1)^2x
Dividindo:
(gcirc f)(x) = x^2+x+1x(x+1)^2x = x^2+x+1(x+1)^2

Passo 5

Domínio de :
  1. tem que estar no domínio de : .
  2. tem que estar no domínio de : .
    Resolve .
    Então

Resposta


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