Determine:
\frac{d}{d x}\left(x^{5} \cdot e^{x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede calcular a derivada em relação a x de \;x^{5}\cdot e^{x}.
  • A função dada é \;f(x)=x^{5}\cdot e^{x}.

Passo 2

Regra que vamos usar (produto de duas funções):
Se \;u(x) e \;v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)\cdot v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando: u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v em relação a x. A regra diz: derive a primeira e multiplique pela segunda; some com a primeira vezes a derivada da segunda.
Além disso, duas fórmulas que vamos usar aqui são:
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}\quad\text{(regra do poder, para \(n\) inteiro positivo)}
e
\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}.
Ou seja, a derivada de x^{n} é n x^{n-1} e a derivada de e^{x} é ele mesmo. Essas fórmulas são padrão; para x^{5} aplicamos a regra do poder com n=5.

Passo 3

Identificação das funções para aplicar a regra do produto:
Tome u(x)=x^{5} e v(x)=e^{x}. Agora calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)=5x^{4}, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{5}\cdot e^{x}\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v, v' encontrados:
\frac{d}{dx}\big(x^{5}\cdot e^{x}\big)=5x^{4}\cdot e^{x}+x^{5}\cdot e^{x}.

Passo 5

Simplificação (fator comum):
Podemos fatorar e^{x} e x^{4} que aparecem em ambos os termos:
5x^{4}e^{x}+x^{5}e^{x}=e^{x}x^{4}\big(5+x\big).
Essa forma é mais compacta e costuma ser preferida em provas, mas ambas as formas são equivalentes.

Resposta

e^{x}x^{4}\big(5+x\big)

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