Encontre y^{\prime} usando as regras de derivação para:
y=\frac{\operatorname{tg} x}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{\operatorname{tg} x}{e^{x}}
e pede para encontrar y', a derivada de y em relação a x.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função trigonométrica presente é a tangente de x, escrita como \operatorname{tg} x.
  • O denominador é a exponencial e^{x}.
  • O objetivo é calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): é mais prático reescrever a expressão como um produto e aplicar a regra do produto, porque a divisão por e^{x} se transforma em multiplicação por e^{-x}, o que deixa as derivadas simples de manipular sem frações. Reescrevendo:
y=\operatorname{tg} x\cdot e^{-x}.
Esta forma permite usar a fórmula do produto, que é uma regra básica e direta para derivar um produto de duas funções.

Passo 3

Apresentar a regra do produto e definir as funções envolvidas: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui escolhemos
u(x)=\operatorname{tg} x,\qquad v(x)=e^{-x}.
Vou explicar o que cada símbolo significa: u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v em relação a x.

Passo 4

Calcular u'(x), a derivada da tangente: uma forma direta de ver \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big) é usar \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} e a regra do quociente, ou lembrar a fórmula conhecida. Fazendo a conta rápida com a identidade seno/ cosseno:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right) =\frac{\cos x\cdot\cos x-\operatorname{sen} x\cdot(-\operatorname{sen} x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Portanto
u'(x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Calcular v'(x), a derivada de v(x)=e^{-x}: usamos a regra da cadeia para exponenciais. A regra geral é
\frac{d}{dx}\big(e^{g(x)}\big)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Aqui g(x)=-x, então g'(x)=-1. Assim
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 6

Aplicar a regra do produto com os u, v e as derivadas encontradas:
y'=u'v+uv'=\big(\operatorname{sec}^2 x\big)\cdot e^{-x}+\big(\operatorname{tg} x\big)\cdot\big(-e^{-x}\big).
Agora somamos os termos semelhantes:
y'=e^{-x}\operatorname{sec}^2 x-e^{-x}\operatorname{tg} x.

Passo 7

Fatorar e^{-x} para simplificar a escrita:
y'=e^{-x}\big(\operatorname{sec}^2 x-\operatorname{tg} x\big).
Se preferir escrever em termos de cosseno e seno, lembrando que \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x} e \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}, tem-se
y'=e^{-x}\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right),
mas a forma com \operatorname{sec}^2 e \operatorname{tg} já é bem compacta e habitual.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, só para dar confiança): usando a regra do quociente diretamente em y=\dfrac{\operatorname{tg} x}{e^{x}} com u=\operatorname{tg} x e w=e^{x} (então u'=\operatorname{sec}^2 x, w'=e^{x}) obteríamos
y'=\frac{u'w-uw'}{w^2}=\frac{\operatorname{sec}^2 x\cdot e^{x}-\operatorname{tg} x\cdot e^{x}}{e^{2x}} =\frac{e^{x}\big(\operatorname{sec}^2 x-\operatorname{tg} x\big)}{e^{2x}}=e^{-x}\big(\operatorname{sec}^2 x-\operatorname{tg} x\big),
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

y'=e^{-x}\big(\operatorname{sec}^2 x-\operatorname{tg} x\big)

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