Encontre
usando as regras de derivação para:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A função trigonométrica presente é a tangente de
, escrita como . - O denominador é a exponencial
. - O objetivo é calcular
.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): é mais prático reescrever a expressão como um produto e aplicar a regra do produto, porque a divisão por
se transforma em multiplicação por
, o que deixa as derivadas simples de manipular sem frações. Reescrevendo:
Esta forma permite usar a fórmula do produto, que é uma regra básica e direta para derivar um produto de duas funções.
Passo 3
Apresentar a regra do produto e definir as funções envolvidas: se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui escolhemos
Vou explicar o que cada símbolo significa:
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calcular
, a derivada da tangente: uma forma direta de ver
é usar
e a regra do quociente, ou lembrar a fórmula conhecida. Fazendo a conta rápida com a identidade seno/ cosseno:
Portanto
Passo 5
Calcular
, a derivada de
: usamos a regra da cadeia para exponenciais. A regra geral é
Aqui
, então
. Assim
Passo 6
Aplicar a regra do produto com os
,
e as derivadas encontradas:
Agora somamos os termos semelhantes:
Passo 7
Fatorar
para simplificar a escrita:
Se preferir escrever em termos de cosseno e seno, lembrando que
e
, tem-se
mas a forma com
e
já é bem compacta e habitual.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, só para dar confiança): usando a regra do quociente diretamente em
com
e
(então
,
) obteríamos
que coincide com o resultado anterior.