Encontre y^{\prime} usando as regras de derivação para:
y=5 x^{3} \cdot \ln x

Passo 1

O enunciado dá a função y e pede sua derivada y':
y = 5x^{3}\cdot \ln x.
Informações importantes: é um produto entre duas funções de x (uma potência multiplicada por constante e o logaritmo natural). Note que \ln x está definida apenas para x>0; a derivada só faz sentido nesse domínio.

Passo 2

Como temos um produto entre duas funções, usamos a regra do produto. A regra do produto afirma que, para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u\cdot v\big)=u'\cdot v + u\cdot v'.
Aqui u' e v' são as derivadas de u e v em relação a x. Essa fórmula vem da definição de derivada e regra de limites; na prática é a fórmula que você deve aplicar quando vir um produto.

Passo 3

Escolho as funções do produto:
u(x)=5x^{3},\qquad v(x)=\ln x.
Agora vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivada de u(x)=5x^{3}.
Regra usada: regra da constante e regra da potência. A regra da potência diz que
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1},
onde n é um número real. Se há uma constante multiplicando, a derivada multiplica essa constante:
\frac{d}{dx}\big(5x^{3}\big)=5\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=5\cdot 3x^{2}=15x^{2}.
Portanto
u'(x)=15x^{2}.

Passo 5

Derivada de v(x)=\ln x.
Fórmula padrão: para o logaritmo natural vale
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x},
válido para x>0. Logo
v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
y' = u'\cdot v + u\cdot v'.
Substituindo u',u,v':
y' = \big(15x^{2}\big)\cdot\big(\ln x\big) + \big(5x^{3}\big)\cdot\frac{1}{x}.
Agora simplifico o segundo termo:
\big(5x^{3}\big)\cdot\frac{1}{x}=5x^{2}.
Portanto
y' = 15x^{2}\ln x + 5x^{2}.

Passo 7

Fatorando para ficar mais compacto (opção útil em prova):
y' = x^{2}\big(15\ln x + 5\big)=5x^{2}\big(3\ln x + 1\big).

Resposta

y'=5x^{2}\big(3\ln x+1\big)

Exercícios relacionados