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usando as regras de derivação para:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada
:
Informações importantes: é um produto entre duas funções de
(uma potência multiplicada por constante e o logaritmo natural). Note que
está definida apenas para
; a derivada só faz sentido nesse domínio.
Passo 2
Como temos um produto entre duas funções, usamos a regra do produto. A regra do produto afirma que, para duas funções
e
,
Aqui
e
são as derivadas de
e
em relação a
. Essa fórmula vem da definição de derivada e regra de limites; na prática é a fórmula que você deve aplicar quando vir um produto.
Passo 3
Escolho as funções do produto:
Agora vou calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivada de
.
Regra usada: regra da constante e regra da potência. A regra da potência diz que
onde
é um número real. Se há uma constante multiplicando, a derivada multiplica essa constante:
Portanto
Passo 5
Derivada de
.
Fórmula padrão: para o logaritmo natural vale
válido para
. Logo
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Agora simplifico o segundo termo:
Portanto
Passo 7
Fatorando para ficar mais compacto (opção útil em prova):