A equação da onda
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante (
é uma constante que depende das grandezas envolvidas). Mostre que a funçāo
satisfaz a equaçāo da onda.
Passo 1
O enunciado dá a equação das ondas
e a função
O que se pede: verificar que essa função satisfaz a equação das ondas, ou seja, mostrar que ao calcular as derivadas parciais de segunda ordem obtemos
Observação relevante sobre domínio: a função
exige
. Trabalhamos, portanto, no domínio onde isso vale.
Passo 2
Relembrando regras de diferenciação que vamos usar (com explicação passo a passo, porque isso é essencial):
- Derivada de
em relação à variável que aparece em é vezes a derivada de (regra da cadeia). Formalmente, se então
onde
é
ou
.
- Derivada de
também usa regra da cadeia:
- Para derivadas de segunda ordem, aplicamos novamente as regras acima à derivada de primeira ordem.
Exemplo rápido e simples para fixar: se, então porque a derivada interna em relação a é .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
(primeira ordem).
Escrevendo e
, temos
Escrevendo
Portanto
Passo 4
Calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Derivamos novamente em relação a
:
Derivamos
Então
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
(primeira ordem).
Usando novamente regra da cadeia:
Usando novamente regra da cadeia:
Portanto
Passo 6
Calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Derivando novamente em relação a
:
Para a parte seno:
Derivando
Para a parte seno:
Calculemos com calma os sinais:
. Derivada de
é
, então obteremos
com sinal negativo final. Assim
Para a parte logaritmo:
Somando as duas partes:
Passo 7
Comparar as expressões encontradas para
e
.
Da Passo 4 temos
Da Passo 4 temos
Multiplicando por
:
Isso coincide exatamente com o que encontramos em Passo 6 para
. Logo
no domínio onde
.
Resposta
Sim,
(valendo para
).