A equação da onda
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante ( a é uma constante que depende das grandezas envolvidas). Mostre que a funçāo u(x, t)=\operatorname{sen}(x-a t)+\ln (x+a t) satisfaz a equaçāo da onda.

Passo 1

O enunciado dá a equação das ondas
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
e a função
u(x,t)=\operatorname{sen}(x-at)+\ln(x+at).
O que se pede: verificar que essa função satisfaz a equação das ondas, ou seja, mostrar que ao calcular as derivadas parciais de segunda ordem obtemos
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}.
Observação relevante sobre domínio: a função \ln(x+at) exige x+at>0. Trabalhamos, portanto, no domínio onde isso vale.

Passo 2

Relembrando regras de diferenciação que vamos usar (com explicação passo a passo, porque isso é essencial):
  • Derivada de \sin(\theta) em relação à variável que aparece em \theta é \cos(\theta) vezes a derivada de \theta (regra da cadeia). Formalmente, se \theta=\theta(x,t) então
\frac{\partial}{\partial s}\sin(\theta)=\cos(\theta)\,\frac{\partial \theta}{\partial s},
onde s é x ou t.
  • Derivada de \ln(\theta) também usa regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial s}\ln(\theta)=\frac{1}{\theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial s}.
  • Para derivadas de segunda ordem, aplicamos novamente as regras acima à derivada de primeira ordem.
    Exemplo rápido e simples para fixar: se v(x,t)=\sin(2x-3t), então \partial v/\partial x=2\cos(2x-3t) porque a derivada interna 2x-3t em relação a x é 2.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u em relação a x (primeira ordem).
Escrevendo \theta_1=x-at e \theta_2=x+at, temos
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(x-at)=\cos(x-at)\cdot\frac{\partial (x-at)}{\partial x}=\cos(x-at)\cdot 1=\cos(x-at),
\frac{\partial}{\partial x}\ln(x+at)=\frac{1}{x+at}\cdot\frac{\partial (x+at)}{\partial x}=\frac{1}{x+at}\cdot 1=\frac{1}{x+at}.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=\cos(x-at)+\frac{1}{x+at}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada parcial de u em relação a x.
Derivamos \frac{\partial u}{\partial x} novamente em relação a x:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\operatorname{sen}(x-at)=\frac{\partial}{\partial x}\cos(x-at)=-\sin(x-at)\cdot\frac{\partial (x-at)}{\partial x}=-\sin(x-at),
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\ln(x+at)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x+at}\right)=-\frac{1}{(x+at)^{2}}\cdot\frac{\partial (x+at)}{\partial x}=-\frac{1}{(x+at)^{2}}.
Então
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-\sin(x-at)-\frac{1}{(x+at)^{2}}.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de u em relação a t (primeira ordem).
Usando novamente regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{sen}(x-at)=\cos(x-at)\cdot\frac{\partial (x-at)}{\partial t}=\cos(x-at)\cdot(-a)=-a\cos(x-at),
\frac{\partial}{\partial t}\ln(x+at)=\frac{1}{x+at}\cdot\frac{\partial (x+at)}{\partial t}=\frac{1}{x+at}\cdot a=\frac{a}{x+at}.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial t}=-a\cos(x-at)+\frac{a}{x+at}.

Passo 6

Calcular a segunda derivada parcial de u em relação a t.
Derivando \frac{\partial u}{\partial t} novamente em relação a t:
Para a parte seno:
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\operatorname{sen}(x-at)=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(-a\cos(x-at)\bigr)=-a\cdot\bigl(-\sin(x-at)\bigr)\cdot\frac{\partial (x-at)}{\partial t}=-a\cdot(-\sin(x-at))\cdot(-a).
Calculemos com calma os sinais: \frac{\partial (x-at)}{\partial t}=-a. Derivada de \cos é -\sin, então obteremos -a\cdot(-\sin(x-at))\cdot(-a)=-a^{2}\sin(x-at) com sinal negativo final. Assim
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\operatorname{sen}(x-at)=-a^{2}\sin(x-at).
Para a parte logaritmo:
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\ln(x+at)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{a}{x+at}\right)=a\cdot\left(-\frac{1}{(x+at)^{2}}\right)\cdot\frac{\partial (x+at)}{\partial t}=a\cdot\left(-\frac{1}{(x+at)^{2}}\right)\cdot a=-\frac{a^{2}}{(x+at)^{2}}.
Somando as duas partes:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=-a^{2}\sin(x-at)-\frac{a^{2}}{(x+at)^{2}}.

Passo 7

Comparar as expressões encontradas para \partial^{2}u/\partial t^{2} e a^{2}\partial^{2}u/\partial x^{2}.
Da Passo 4 temos
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-\sin(x-at)-\frac{1}{(x+at)^{2}}.
Multiplicando por a^{2}:
a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-a^{2}\sin(x-at)-\frac{a^{2}}{(x+at)^{2}}.
Isso coincide exatamente com o que encontramos em Passo 6 para \partial^{2}u/\partial t^{2}. Logo
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
no domínio onde x+at>0.

Resposta

Sim, \displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} (valendo para x+at>0).

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