Determine a fração geratriz da dízima periódica
4,243535353535 \ldots
utilizando por meio de uma progressão geométrica.

Passo 1

O enunciado pede a fração geratriz de
4,2435353535\ldots
ou seja, escrever esse número como uma fração irredutível. Aqui a parte não-periódica é “24” (dois primeiros dígitos decimais) e a parte periódica é “35” que se repete indefinidamente.

Passo 2

Seja
x = 4,2435353535\ldots
Podemos separar em
x = 4 + 0,2435353535\ldots
e então em
x = 4 + 0,24 + 0,0035353535\ldots
Onde 0,24 é a parte não-periódica e 0,0035353535\ldots é o trecho em que “35” se repete.

Passo 3

Note que
0,0035353535\ldots = 0,0035 + 0,000035 + 0,00000035 + \cdots
isto é, uma progressão geométrica de primeiro termo
a = 0,0035 = \frac{35}{10^4}
e razão
q = 0,01 = \frac1{100}.
A soma infinita vale
\frac{a}{1-q} = \frac{\tfrac{35}{10^4}}{1 - \tfrac1{100}} = \frac{35/10^4}{99/100} = \frac{35}{10^4}\cdot\frac{100}{99} = \frac{35}{9900}.

Passo 4

Voltando a x, temos
x = 4 + \frac{24}{100} + \frac{35}{9900}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 9900:
4 = \frac{4\cdot9900}{9900}=\frac{39600}{9900}, \qquad \frac{24}{100}=\frac{24\cdot99}{9900}=\frac{2376}{9900},
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x = \frac{39600}{9900} + \frac{2376}{9900} + \frac{35}{9900} = \frac{39600+2376+35}{9900} = \frac{42011}{9900}.

Resposta

\frac{42011}{9900}

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