Determine
tal que
seja dívisível por
. Nesse caso determine a multiplicidade dessa raiz.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o inteiro
tal que o polinômio
seja divisível por
(ou seja,
seja raiz) e, em seguida, determinar a multiplicidade dessa raiz.
Passo 2
Para que
seja fator de
, precisamos ter
. Calculamos:
Da condição
segue
Passo 3
Com
, o polinômio vira
. A multiplicidade de
é o maior
tal que todas as derivadas até ordem
também se anulam em
.
Primeiro, a derivada de primeira ordem:
Primeiro, a derivada de primeira ordem:
logo
o que mostra que a raiz tem multiplicidade pelo menos 2.
Em seguida, a derivada de segunda ordem:
Em seguida, a derivada de segunda ordem:
então
Como a segunda derivada em
é não nula, a multiplicidade é exatamente 2.