Determine n tal que x^{n}-n x+3 seja dívisível por x-1. Nesse caso determine a multiplicidade dessa raiz.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o inteiro n tal que o polinômio
P(x)=x^{n}-n\,x+3
seja divisível por x-1 (ou seja, x=1 seja raiz) e, em seguida, determinar a multiplicidade dessa raiz.

Passo 2

Para que x-1 seja fator de P(x), precisamos ter P(1)=0. Calculamos:
P(1)=1^{n}-n\cdot1+3=1-n+3=4-n.
Da condição P(1)=0 segue
4-n=0 \quad\Longrightarrow\quad n=4.

Passo 3

Com n=4, o polinômio vira P(x)=x^{4}-4x+3. A multiplicidade de x=1 é o maior k tal que todas as derivadas até ordem k-1 também se anulam em x=1.
Primeiro, a derivada de primeira ordem:
P'(x)=4x^{3}-4,
logo
P'(1)=4\cdot1^{3}-4=0,
o que mostra que a raiz tem multiplicidade pelo menos 2.
Em seguida, a derivada de segunda ordem:
P''(x)=12x^{2},
então
P''(1)=12\cdot1^{2}=12\neq0.
Como a segunda derivada em x=1 é não nula, a multiplicidade é exatamente 2.

Resposta

n=4 e a raiz x=1 tem multiplicidade 2.

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