Mostre que para tudo número inteiro
(dois pontos)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, a soma
vale
. O conteúdo principal aqui é a técnica de frações parciais que gera uma soma telescópica.
Passo 2
Para cada termo genérico da soma, decomponha em frações parciais:
Igualando denominadores fica
Para isso valer para todo
logo
. Portanto
Passo 3
Substituindo na soma
, temos
Observe que a soma “telescopa”: todos os termos intermediários cancelam, restando