Mostre que para tudo número inteiro n>1, \quad(n \geqslant 2)
\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1) n}=\frac{n-1}{n}
(dois pontos)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge 2, a soma
S = \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n-1)\,n}
vale \tfrac{n-1}{n}. O conteúdo principal aqui é a técnica de frações parciais que gera uma soma telescópica.

Passo 2

Para cada termo genérico da soma, decomponha em frações parciais:
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}.
Igualando denominadores fica
1 = A(k+1) + Bk = (A+B)\,k + A.
Para isso valer para todo k\), exigimos \[\begin{cases} A + B = 0,\\\ A = 1, \end{cases}
logo A=1\] e \(B=-1. Portanto
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.

Passo 3

Substituindo na soma S, temos
S = \sum_{k=1}^{n-1}\bigl(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\bigr) = \bigl(1-\tfrac12\bigr) + \bigl(\tfrac12-\tfrac13\bigr) + \cdots + \bigl(\tfrac{1}{n-1}-\tfrac{1}{n}\bigr).
Observe que a soma “telescopa”: todos os termos intermediários cancelam, restando
S = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}.

Resposta

\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \frac{1}{(n-1)\,n} = \frac{n-1}{n}.

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