O resto da divisão do polinômio p por x-1 é 5 e por x+3 é 4 . Determine seu resto na divisão por (x-1)(x+3).
Passo 1
O enunciado nos diz que ao dividir o polinômio p(x) por x-1 o resto é 5 e que ao dividi-lo por x+3 o resto é 4. Queremos o resto da divisão de p(x) por (x-1)(x+3). Vamos usar o Teorema do Resto e representar esse resto por um polinômio de grau menor que 2.
Passo 2
Pelo Teorema do Resto, ao dividir por x-1 temos
p(1)=5
e ao dividir por x+3 temos
p(-3)=4.
Passo 3
Seja o resto da divisão por (x-1)(x+3) o polinômio genérico de grau menor que 2:
r(x)=ax+b.
Ele deve satisfazer
r(1)=5 \quad\text{e}\quad r(-3)=4.
Isso gera o sistema
\begin{cases} a + b = 5,\\\\ -3a + b = 4. \end{cases}
Passo 4
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(a + b)-(-3a + b)=5-4 \quad\Longrightarrow\quad 4a = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = \tfrac{1}{4}.
Substituindo em a + b = 5:
\tfrac{1}{4} + b = 5 \quad\Longrightarrow\quad b = 5 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{19}{4}.