Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é do tipo
, com
O objetivo é verificar se é exata e, se for, encontrar a família de soluções.
Passo 2
Para testar exatidão calculamos
Como
, a equação é exata. Não precisamos de fator integrante.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
,
onde
é uma função “constante” em relação a
.
Passo 4
Agora impondo
segue
, portanto
Logo a função potencial completa é
A família de curvas-constante é dada por
.
Resposta
onde
é constante arbitrária.