Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
(x+2 y) d x+(2 x+y) d y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x+2y)\,dx \;+\;(2x+y)\,dy \;=\;0
que é do tipo M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, com
M(x,y)=x+2y, \quad N(x,y)=2x+y.
O objetivo é verificar se é exata e, se for, encontrar a família de soluções.

Passo 2

Para testar exatidão calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x+2y)=2, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2x+y)=2.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata. Não precisamos de fator integrante.

Passo 3

Buscamos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)=x+2y.
Integrando em relação a x,
\psi(x,y)=\int (x+2y)\,dx =\frac{x^2}{2}+2xy + h(y),
onde h(y) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 4

Agora impondo
\frac{\partial \psi}{\partial y} =2x + h'(y) \stackrel{!}{=}N(x,y)=2x+y,
segue h'(y)=y, portanto
h(y)=\int y\,dy=\frac{y^2}{2}.
Logo a função potencial completa é
\psi(x,y) =\frac{x^2}{2}+2xy+\frac{y^2}{2}.
A família de curvas-constante é dada por \psi(x,y)=C.

Resposta

\boxed{\frac{x^2}{2}+2xy+\frac{y^2}{2}=C,}
onde C é constante arbitrária.

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