f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \neq 1 \\\\ 3, & x=1\end{cases}
é contínua em x=1.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \neq 1 \\\\ 3, & x=1\end{cases}
e pede para determinar se f é contínua em x=1.
Informações relevantes:
Para todo x\neq1, f(x)=x^{2}.
Em x=1, f(1)=3.
A pergunta é apenas sobre continuidade no ponto x=1.
Passo 2
Lembrete da definição de continuidade num ponto (passo-a-passo didático):
Dizemos que f é contínua em x=1 se e somente se
\lim_{x\to1} f(x) = f(1).
Isso significa duas coisas que precisam ser verificadas:
O limite \lim_{x\to1} f(x) existe (ou seja, as limites laterais à esquerda e à direita coincidem).
O valor desse limite é exatamente igual a f(1).
No caso de funções dadas por partes, para calcular \lim_{x\to1} f(x) devemos olhar para a expressão que vale quando x se aproxima de 1 mas não é igual a 1. Aqui, quando x se aproxima de 1 com x\neq1, usamos f(x)=x^{2}.
Passo 3
Calcular o limite \lim_{x\to1} f(x).
Como para x próximos de 1 (mas distintos de 1) vale f(x)=x^{2}, temos
\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1} x^{2}.
Explicação por substituição (propriedade de polinômios): polinômios são contínuos em todo ponto, então o limite pode ser obtido substituindo x=1. Assim
\lim_{x\to1} x^{2}=1^{2}=1.
Outra forma de ver, mais algébrica: escrever
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Quando x\to1 temos x-1\to0 e x+1\to2, logo (x-1)(x+1)\to0, ou seja x^{2}\to1. Ambas as explicações mostram que
\lim_{x\to1} f(x)=1.
Passo 4
Comparar o limite com o valor da função em 1.
Do enunciado sabemos que
f(1)=3.
Portanto, o valor da função em 1 é 3, enquanto o limite quando x\to1 foi 1.
Passo 5
Conclusão sobre continuidade.
Como
\lim_{x\to1} f(x)=1 \quad\text{e}\quad f(1)=3,
temos que \lim_{x\to1} f(x)\neq f(1). Pelo critério de continuidade isso implica que f NÃO é contínua em x=1.
Classificação da descontinuidade: o limite existe (é 1) mas o valor da função é diferente; isso é chamado de descontinuidade removível. Para “consertar” a função e torná-la contínua em 1 bastaria redefinir f(1)=1.