Determine a função f(x) no caso em que:
f^prime(x)=1+3 raizx, com f(4)=25

Passo 1

Temos a derivada da função f: f'(x) = 1 + 3raizx, com a condição f(4) = 25. O conteúdo que vamos usar é antiderivação (integração indefinida) para encontrar f(x) e depois aplicar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Para obter f(x), integramos f'(x):
f(x) = integral l(1 + 3x^1/2r),dx = integral 1,dx + 3integral x^1/2,dx
Calculando separadamente:
integral 1,dx = x,
integral x^1/2,dx = x^3/23/2 = 23x^3/2
Logo,
f(x) = x + 3cdot23x^3/2 + C = x + 2x^3/2 + C

Passo 3

Agora usamos a condição f(4)=25:
f(4) = 4 + 2cdot4^3/2 + C = 4 + 2cdot8 + C = 20 + C = 25
Dessa igualdade segue C = 5. Portanto a função procurada é
f(x) = x + 2x^3/2 + 5

Resposta

f(x) = x + 2x^{3/2} + 5

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