Encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar uma fórmula para a soma parcial até o n-ésimo termo da série:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries e somas parciais, além de usar frações parciais para simplificar os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o n-ésimo termo geral da série. Observando os primeiros termos, vemos que eles seguem o padrão:
onde $ k $ começa em 2 e vai aumentando.
Passo 3
Agora, vamos utilizar o método de frações parciais para simplificar $ a_k $. Queremos escrever $ \frac{1}{k(k+1)} $ como a diferença de duas frações mais simples. Vamos supor que:
Passo 4
Para encontrar $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados por $ k(k+1) $:
Expandindo:
Agrupando os termos com $ k $:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com $ k $:
Para o termo constante:
Resolvendo essas equações, temos:
Passo 6
Então, a fração original pode ser reescrita como:
Isso é super útil porque simplifica a soma.
Passo 7
Agora, vamos escrever a soma parcial até o n-ésimo termo usando essa nova forma:
Expandendo os primeiros termos, temos:
Passo 8
Observamos que a soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam. Vamos ver:
Todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas:
Passo 9
Então, a fórmula para a soma parcial até o n-ésimo termo é:
Passo 10
Finalmente, para encontrar a soma da série completa, verificamos o limite de $ S_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
Resposta
A soma da série converge para
.