Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
12 cdot 3+13 cdot 4+14 cdot 5+cdots+1(n+1)(n+2)+ldots

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar uma fórmula para a soma parcial até o n-ésimo termo da série:
12 cdot 3 + 13 cdot 4 + 14 cdot 5 + cdots + 1(n+1)(n+2) + ldots
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries e somas parciais, além de usar frações parciais para simplificar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o n-ésimo termo geral da série. Observando os primeiros termos, vemos que eles seguem o padrão:
ak = 1k(k+1)
onde $ k $ começa em 2 e vai aumentando.

Passo 3

Agora, vamos utilizar o método de frações parciais para simplificar $ a_k $. Queremos escrever $ \frac{1}{k(k+1)} $ como a diferença de duas frações mais simples. Vamos supor que:
ak

Passo 4

Para encontrar $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados por $ k(k+1) $:
A
Expandindo:
B
Agrupando os termos com $ k $:
k(k+1)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo com $ k $:
k
Para o termo constante:
A + B = 0
Resolvendo essas equações, temos:
A = 1

Passo 6

Então, a fração original pode ser reescrita como:
1k(k+1) = 1k - 1k+1
Isso é super útil porque simplifica a soma.

Passo 7

Agora, vamos escrever a soma parcial até o n-ésimo termo usando essa nova forma:
Sn = sumk=2^n ( 1k - 1k+1 )
Expandendo os primeiros termos, temos:
Sn = ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + cdots + ( 1n - 1n+1 )

Passo 8

Observamos que a soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam. Vamos ver:
Sn = 12 - 13 + 13 - 14 + cdots + 1n - 1n+1
Todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas:
Sn = 12 - 1n+1

Passo 9

Então, a fórmula para a soma parcial até o n-ésimo termo é:
Sn = 12 - 1n+1

Passo 10

Finalmente, para encontrar a soma da série completa, verificamos o limite de $ S_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
Sn

Resposta

A soma da série converge para 12.

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