Resolva as equaçÔes diferenciais abaixo:
y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime-y=0

Passo 1

Estamos encarando a EDO de terceira ordem homogênea com coeficientes constantes
y''' - y'' + y' - y = 0
O conteúdo é equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes e vamos precisar do polinômio característico para encontrar a solução geral.

Passo 2

Para montar o polinômio característico, assumimos a solução da forma y=e^r x. Substituindo as derivadas nessa forma e dividindo por e^r x, obtemos
r^3 - r^2 + r - 1 = 0

Passo 3

Precisamos fatorar r^3 - r^2 + r -1. Fazendo agrupamento:
r^3 - r^2 + r - 1 = r^2(r - 1) + 1(r - 1) = (r - 1)(r^2 + 1) = 0
Logo as raízes são r = 1 e r^2 + 1 = 0 que dá r = i e r = -i.

Passo 4

Cada raiz contribui com um termo na solução geral:
  • A raiz real simples r = 1 gera o termo C1 e^x.
  • O par de raízes complexas r = pm i, com alpha = 0 e beta = 1, gera os termos C2 cos x e C3 sin x.

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 cos x + C3 sin x

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