Determine se a função é contínua em c=0. justifique.
f(x)=rllsin x|x|, & se & x neq 0, 1, & se & x=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sin xlvert xrvert,&xneq0,1,&x=0
e pede para verificar continuidade em c=0. Então vamos usar a definição de limite e continuidade: é contínua se limxto0f(x)=f(0).

Passo 2

Vamos calcular o limite lateral pela direita. Para x>0 temos lvert xrvert=x, então
limxto0^+sin xlvert xrvert=limxto0^+sin xx=1,
pois sabemos que limxto0sin xx=1.

Passo 3

Agora o limite lateral pela esquerda. Para x<0 vale lvert xrvert=-x, então
limxto0^-sin xlvert xrvert=limxto0^-sin x-x=-limxto0^-sin xx=-1

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes (1 à direita e -1 à esquerda), o limite limxto0f(x) não existe e certamente não coincide com f(0)=1.
Logo, não satisfazemos limxto0f(x)=f(0), e a função não é contínua em 0.

Resposta

A função não é contínua em 0, pois os limites laterais são diferentes e não igualam a f(0).

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