Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty(-1)^n-1 3^2 n2^3 n+1

Passo 1

O enunciado pede verificar se a série
sumn=1^infty(-1)^n-13^2n2^3n+1
é convergente ou divergente. O conteúdo é série geométrica alternada, e vamos usar o critério de convergência de série geométrica (ela só converge se o módulo da razão for menor que 1).

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral. Note que 3^2n=9^n e 2^3n+1=2cdot8^n. Logo,
sumn=1^infty(-1)^n-13^2n2^3n+1 =sumn=1^infty(-1)^n-19^n2cdot8^n =sumn=1^infty(-1)^n-112l(tfrac98r)^n
Podemos extrair um fator tfrac916 e reindexar como série geométrica padrão:
sumn=1^infty(-1)^n-112l(tfrac98r)^n =12cdot98sumn=1^inftyl(-tfrac98r)^n-1 =916sumk=0^inftyl(-tfrac98r)^k

Passo 3

Para convergir, a série geométrica sumk=0^inftyar^k exige lvert rrvert<1. Aqui temos
r=-tfrac98,lvert rrvert=tfrac98>1,
logo o critério falha e a série diverge. Além disso, o termo geral não tende a zero, confirmando a divergência.

Resposta

A série é divergente.

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