Nos itens abaixo, determine o valor exato das integrais definidas (Riemman).
integral-2^5|y-3| d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-2^5 |y-3|,dy
O tema é integração de valor absoluto, que exige quebrar a função em trechos onde o argumento muda de sinal.

Passo 2

Determinamos onde y-3=0, ou seja em y=3.
Para y<3 temos |y-3|=3-y e para y>3 temos |y-3|=y-3.
Como o intervalo de integração é [-2,5], partimos em dois trechos:
integral-2^5|y-3|,dy =integral-2^3(3-y),dy ;+;integral3^5(y-3),dy

Passo 3

Calcular integral-2^3(3-y),dy.
Um primitivo de 3-y é 3y - tfracy^22. Avaliando em -2 e 3:
l[3y - tfracy^22r]y=-2^y=3 = l(9 - tfrac92r);-;l(-6 - 2r) = tfrac92 - (-8) = tfrac252

Passo 4

Calcular integral3^5(y-3),dy.
Um primitivo de y-3 é tfracy^22-3y. Avaliando em 3 e 5:
l[tfracy^22-3yr]y=3^y=5 = l(tfrac252-15r);-;l(tfrac92-9r) = l(-tfrac52r)-l(-tfrac92r) = 2

Passo 5

Somando os dois resultados:
tfrac252 + 2 = tfrac252 + tfrac42 = tfrac292

Resposta

tfrac292

Exercícios relacionados