Determine se a função é contínua e/ou derivável no ponto indicado: em x=0
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= xsinl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0,
e pede para verificar se ela é contínua e/ou derivável em x=0. Para isso vamos usar (1) definição de limite para continuidade e (2) definição de derivada via limite do quociente incremental.
Passo 2
Verificação da continuidade em x=0. Calculamos
limxto0f(x) =limxto0xsinl(tfrac1xr)
Como lvertsin(1/x)rvert<=1, vale
l|xsin(tfrac1x)r|<=|x|xrightarrow[xto0]0,
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limxto0f(x)=0=f(0),
portanto f é contínua em x=0.
Passo 3
Verificação da derivabilidade em x=0. Usamos a definição