Determine se a função é contínua e/ou derivável no ponto indicado:
f(x)=llx sin (1x), & x neq 0 0, & x=0 em x=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= xsinl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0,
e pede para verificar se ela é contínua e/ou derivável em x=0. Para isso vamos usar (1) definição de limite para continuidade e (2) definição de derivada via limite do quociente incremental.

Passo 2

Verificação da continuidade em x=0. Calculamos
limxto0f(x) =limxto0xsinl(tfrac1xr)
Como lvertsin(1/x)rvert<=1, vale
l|xsin(tfrac1x)r|<=|x|xrightarrow[xto0]0,
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limxto0f(x)=0=f(0),
portanto f é contínua em x=0.

Passo 3

Verificação da derivabilidade em x=0. Usamos a definição
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h =limhto0hsin(tfrac1h)-0h =limhto0sinl(tfrac1hr)
Esse último limite não existe, pois sin(1/h) oscila entre -1 e 1 à medida que hto0. Portanto f'(0) não existe e f não é derivável em x=0.

Resposta

A função é contínua em x=0 e não é derivável em x=0.

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