Determine as integrais abaixo:
integral0^pi8 sen(3 x) cos (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi8 sin(3x),cos(5x),dx
Aqui vamos usar identidades trigonométricas (produto para soma) e depois integrar term a termo.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin A,cos B = tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
com A=3x e B=5x. Assim
sin(3x)cos(5x) =tfrac12l[sin(8x)+sin(-2x)r] =tfrac12l[sin(8x)-sin(2x)r]

Passo 3

Então
integral0^pi8sin(3x)cos(5x),dx =tfrac12integral0^pi8sin(8x),dx -tfrac12integral0^pi8sin(2x),dx
As antiderivadas são
integralsin(8x),dx=-tfrac18cos(8x), integralsin(2x),dx=-tfrac12cos(2x)
Logo o integrando dá
tfrac12l(-tfrac18cos(8x)+tfrac12cos(2x)r) =-tfrac116cos(8x)+tfrac14cos(2x)

Passo 4

Avaliando de 0 a tfracpi8:
Em x=tfracpi8
-tfrac116cos(pi)+tfrac14cosl(tfracpi4r) =-tfrac116(-1)+tfrac14cdottfracraiz22 =tfrac116+tfracraiz28
Em x=0
-tfrac116cos(0)+tfrac14cos(0) =-tfrac116+tfrac14 =tfrac316
Subtraindo,
l(tfrac116+tfracraiz28r) -tfrac316 =-tfrac216+tfracraiz28 =-tfrac18+tfracraiz28 =tfracraiz2-18

Resposta

integral0^pi8sin(3x)cos(5x),dx =raiz2-18

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