Nos itens abaixo, determine o valor exato das integrais definidas (Riemman).
integral0^2 x e^7 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 x,e^7x,dx
ou seja, aplicar métodos de integração (neste caso, por partes) para obter o valor exato.

Passo 2

Para usar a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du,
fazemos a escolha natural
u = x e dv = e^7x,dx.
Então
du = dx, v = integral e^7x,dx = tfrac17e^7x

Passo 3

Aplicando a fórmula em termos da primitiva F(x), temos
F(x) = xcdot17e^7x ;-;integral 17e^7x,dx = x7e^7x ;-;17cdot17e^7x = x7e^7x - 149e^7x

Passo 4

Agora avaliamos F(x) de 0 a 2:
F(2) = 27e^14 - 149e^14, F(0) = 07e^0 - 149e^0 = -149
Logo,
integral0^2 x,e^7x,dx = F(2) - F(0) = l(27 - 149r)e^14 ;+;149

Passo 5

Para simplificar, escrevemos tfrac27=tfrac1449, então
1449-149=1349,
ficando
integral0^2 x,e^7x,dx = 1349e^14 + 149

Resposta

1349e^14 + 149

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