Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n n !2^n+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^nn!2^n+1
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar:
  1. Definição de convergência absoluta (testar a série dos valores absolutos).
  2. Teste da razão para a série absoluta.
  3. Teste da divergência (termo geral deve tender a zero) para a série original.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, isto é, a série
sumn=1^inftyl|;(-1)^nn!2^n+1r| =sumn=1^inftyn!2^n+1
Aplicamos o teste da razão: seja an=dfracn!2^n+1. Então
an+1an =(n+1)!2^n+2n!2^n+1 =n+12
Como limntoinftytfracn+12=infty>1, a série absoluta diverge.

Passo 3

Para a série original, o teste da divergência exige que
limntoinfty(-1)^nn!2^n+1=0
para haver qualquer possibilidade de convergência. Mas já vimos que
n!2^n+1xrightarrow[ntoinfty]infty,
logo o termo geral não tende a zero. Pelo teste da divergência, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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