Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar:
- Definição de convergência absoluta (testar a série dos valores absolutos).
- Teste da razão para a série absoluta.
- Teste da divergência (termo geral deve tender a zero) para a série original.
Passo 2
Analisamos a convergência absoluta, isto é, a série
Aplicamos o teste da razão: seja
an=dfracn!2^n+1 . Então
Como
limntoinftytfracn+12=infty>1 , a série absoluta diverge.
Passo 3
Para a série original, o teste da divergência exige que
para haver qualquer possibilidade de convergência. Mas já vimos que
logo o termo geral não tende a zero. Pelo teste da divergência, a série original diverge.
Resposta
A série diverge.