Determine a função curvatura da curva r(t)=(4 cos (t), t, 4 sen(t)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função de curvatura da curva dada por r(t) = (4 cos(t), t, 4 sin(t)). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a curvas no espaço. Vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da posição, além de usar a fórmula da curvatura que envolve o produto vetorial dessas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da posição r(t). A primeira derivada r'(t) nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto.
r'(t) = ( ddt[4 cos(t)], ddt[t], ddt[4 sin(t)] ) = (-4 sin(t), 1, 4 cos(t))

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada r''(t), que nos dá a taxa de variação do vetor tangente, ou seja, como a direção da curva está mudando.
r''(t) = ( ddt[-4 sin(t)], ddt[1], ddt[4 cos(t)] ) = (-4 cos(t), 0, -4 sin(t))

Passo 4

Com as duas derivadas em mãos, vamos calcular o produto vetorial r'(t) times r''(t). Esse produto nos ajuda a encontrar a magnitude que está relacionada à curvatura.
r'(t) times r''(t) = i & j & k -4 sin(t) & 1 & 4 cos(t) -4 cos(t) & 0 & -4 sin(t)
Calculando o determinante:
r'(t) times r''(t) = (1 cdot (-4 sin(t)) - 4 cos(t) cdot 0, 4 cos(t) cdot (-4 cos(t)) - (-4 sin(t)) cdot (-4 sin(t)), (-4 sin(t)) cdot 0 - 1 cdot (-4 cos(t)) )
Simplificando:
r'(t) times r''(t) = (-4 sin(t), -16 cos^2(t) - 16 sin^2(t), 4 cos(t))
E como cos^2(t) + sin^2(t) = 1:
r'(t) times r''(t) = (-4 sin(t), -16, 4 cos(t))

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma dos vetores. Primeiro, a norma de r'(t):
|r'(t)| = raiz(-4 sin(t))^2 + (1)^2 + (4 cos(t))^2 = raiz16 sin^2(t) + 1 + 16 cos^2(t) = raiz16 (sin^2(t) + cos^2(t)) + 1 = raiz16 cdot 1 + 1 = raiz17
Em seguida, a norma do produto vetorial r'(t) times r''(t):
|r'(t) times r''(t)| = raiz(-4 sin(t))^2 + (-16)^2 + (4 cos(t))^2 = raiz16 sin^2(t) + 256 + 16 cos^2(t) = raiz16 (sin^2(t) + cos^2(t)) + 256 = raiz16 cdot 1 + 256 = raiz272 = 16.492

Passo 6

Finalmente, vamos usar a fórmula da curvatura:
kappa(t) = |r'(t) times r''(t)||r'(t)|^3 = raiz272(raiz17)^3 = raiz27217^3/2 = raiz27217 raiz17 = 16.49217 times 4.123 approx 16.49270.09 approx 0.235

Resposta

A função curvatura da curva é kappa(t) approx 0,235.

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