Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
y \ln x \frac{d y}{d x}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
y\ln x\,\frac{dy}{dx}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^2.
Informações e observações iniciais que o enunciado dá:
  • A equação envolve y, x e \ln x.
  • Como aparece \ln x, temos que trabalhar com x>0 (casos com x\le0 não fazem sentido para \ln x real).
  • Ao separar variáveis vamos dividir por expressões que podem ser zero; portanto devo lembrar de checar soluções constantes singulares (por exemplo y=-1 ou y=0) que poderiam ter sido perdidas ao dividir.
  • O que se pede é a solução geral (familia de soluções) — se houver soluções especiais singulares, elas também devem ser mencionadas.

Passo 2

Primeiro isolamos \dfrac{dy}{dx} e escrevemos a equação de modo a separar as variáveis x e y.
y\ln x\;\frac{dy}{dx}=\frac{(y+1)^2}{x^2}
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{(y+1)^2}{x^2\,y\ln x}.
Agora colocamos todos os termos com y do lado esquerdo e todos os termos com x do lado direito. Supondo provisoriamente y\neq0, y\neq-1 e \ln x\neq0 (vou tratar as soluções possíveis quando essas hipóteses falharem), temos
\frac{y}{(y+1)^2}\,dy=\frac{1}{x^2\ln x}\,dx.
Esse é o passo de separação de variáveis.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Começo pelo lado esquerdo:
\int \frac{y}{(y+1)^2}\,dy.
Faço a substituição u=y+1. Então du=dy e y=u-1. O integrando fica
\frac{u-1}{u^2}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}.
Integrando termo a termo,
\int\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}\right)du=\int\frac{1}{u}\,du-\int u^{-2}\,du=\ln|u|+\frac{1}{u}+C_1.
Voltando para y (lembre u=y+1),
\int \frac{y}{(y+1)^2}\,dy=\ln|y+1|+\frac{1}{y+1}+C_1.
Expliquei cada passo: a decomposição \frac{u-1}{u^2} transforma a integral numa soma de integrais elementares; \int u^{-2}du=-u^{-1}, por isso o sinal e o termo \frac{1}{u} aparecem.

Passo 4

Agora o lado direito:
\int \frac{1}{x^2\ln x}\,dx.
Faço a substituição t=\ln x. Então dt=\frac{dx}{x} e x=e^t, dx=e^t dt. Reescrevendo,
\frac{1}{x^2\ln x}\,dx=\frac{1}{e^{2t}\,t}\,e^t dt=\frac{e^{-t}}{t}\,dt.
Assim precisamos calcular
\int \frac{e^{-t}}{t}\,dt.
Essa integral não tem primitiva elementar em termos de funções elementares comuns; ela é expressa pela função integral exponencial. Uma forma conveniente de escrevê-la é usando a função \operatorname{Ei}. Lembre a propriedade de derivação:
\frac{d}{dt}\operatorname{Ei}(-t)=\frac{e^{-t}}{t}.
(Verificação rápida: \operatorname{Ei}'(z)=\dfrac{e^{z}}{z}, então por cadeia \dfrac{d}{dt}\operatorname{Ei}(-t)=\operatorname{Ei}'(-t)\cdot(-1)=\dfrac{e^{-t}}{-t}\cdot(-1)=\dfrac{e^{-t}}{t}.)
Portanto
\int \frac{e^{-t}}{t}\,dt=\operatorname{Ei}(-t)+C_2.
Voltando para x com t=\ln x,
\int \frac{1}{x^2\ln x}\,dx=\operatorname{Ei}(-\ln x)+C_2.
Observação: \operatorname{Ei}(-\ln x)=\operatorname{Ei}(\ln(1/x)).

Passo 5

Igualando as primitivas (lado esquerdo = lado direito) e juntando as constantes em uma única constante C, obtemos a solução implícita geral:
\ln|y+1|+\frac{1}{y+1}=\operatorname{Ei}(-\ln x)+C,
onde C\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Essa é a família de soluções obtida por separação de variáveis, válida para intervalos em x>0 que não contenham x=1 (pois em x=1 \ln x=0 e dividimos por \ln x ao separar). Note que \operatorname{Ei} é bem definida para argumentos que não atinjam singularidades apropriadas; aqui usamos a notação padrão.

Passo 6

Agora tratamos as soluções singulares que perdemos ao dividir:
  • Tentar y=-1 (constante). Substituindo na equação original, y=-1
(-1)\ln x\cdot 0 = \left(\frac{-1+1}{x}\right)^2 \quad\Rightarrow\quad 0=0,
portanto y\equiv -1 é de fato uma solução válida para todo x>0. Ela corresponde à situação em que dividimos por (y+1)^2 e a descartamos — por isso é importante mencioná-la.
  • Tentar y=0 (constante). Substituindo, o lado esquerdo é 0 e o direito é \frac{1}{x^2}\neq0, logo y\equiv0 não é solução.

Passo 7

Resumo e observações finais para a prova:
  • A solução geral obtida por separação de variáveis é dada implicitamente por
\ln|y+1|+\frac{1}{y+1}=\operatorname{Ei}(-\ln x)+C,
com x>0 e constante C.
  • Além dessa família, existe a solução singular constante y\equiv-1.
  • Não é possível isolar y em termos de funções elementares; a equação final é transcendental em y, portanto aceitável apresentá-la de forma implícita.
  • Atenção durante a prova: sempre verificar e citar soluções constantes perdidas ao dividir por expressões que podem anular-se (aqui y+1=0 levou à solução singular).

Resposta

\displaystyle \ln|y+1|+\frac{1}{y+1}=\operatorname{Ei}(-\ln x)+C,\quad C\in\mathbb{R}.\n \displaystyle y\equiv -1.

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