Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
Informações e observações iniciais que o enunciado dá:
- A equação envolve
, e . - Como aparece
, temos que trabalhar com (casos com não fazem sentido para real). - Ao separar variáveis vamos dividir por expressões que podem ser zero; portanto devo lembrar de checar soluções constantes singulares (por exemplo
ou ) que poderiam ter sido perdidas ao dividir. - O que se pede é a solução geral (familia de soluções) — se houver soluções especiais singulares, elas também devem ser mencionadas.
Passo 2
Primeiro isolamos
e escrevemos a equação de modo a separar as variáveis
e
.
Logo
Agora colocamos todos os termos com
do lado esquerdo e todos os termos com
do lado direito. Supondo provisoriamente
,
e
(vou tratar as soluções possíveis quando essas hipóteses falharem), temos
Esse é o passo de separação de variáveis.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Começo pelo lado esquerdo:
Faço a substituição
. Então
e
. O integrando fica
Integrando termo a termo,
Voltando para
(lembre
),
Expliquei cada passo: a decomposição
transforma a integral numa soma de integrais elementares;
, por isso o sinal e o termo
aparecem.
Passo 4
Agora o lado direito:
Faço a substituição
. Então
e
,
. Reescrevendo,
Assim precisamos calcular
Essa integral não tem primitiva elementar em termos de funções elementares comuns; ela é expressa pela função integral exponencial. Uma forma conveniente de escrevê-la é usando a função
. Lembre a propriedade de derivação:
(Verificação rápida:
, então por cadeia
.)
Portanto
Portanto
Voltando para
com
,
Observação:
.
Passo 5
Igualando as primitivas (lado esquerdo = lado direito) e juntando as constantes em uma única constante
, obtemos a solução implícita geral:
onde
é constante arbitrária. Essa é a família de soluções obtida por separação de variáveis, válida para intervalos em
que não contenham
(pois em
e dividimos por
ao separar). Note que
é bem definida para argumentos que não atinjam singularidades apropriadas; aqui usamos a notação padrão.
Passo 6
Agora tratamos as soluções singulares que perdemos ao dividir:
- Tentar
(constante). Substituindo na equação original, dá
portanto
é de fato uma solução válida para todo
. Ela corresponde à situação em que dividimos por
e a descartamos — por isso é importante mencioná-la.
- Tentar
(constante). Substituindo, o lado esquerdo é e o direito é , logo não é solução.
Passo 7
Resumo e observações finais para a prova:
- A solução geral obtida por separação de variáveis é dada implicitamente por
com
e constante
.
- Além dessa família, existe a solução singular constante
. - Não é possível isolar
em termos de funções elementares; a equação final é transcendental em , portanto aceitável apresentá-la de forma implícita. - Atenção durante a prova: sempre verificar e citar soluções constantes perdidas ao dividir por expressões que podem anular-se (aqui
levou à solução singular).