Determine para que a função dada seja contínua no ponto dado.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de L para que a função definida por partes seja contínua em p=2. A função é
f(x)=x^3-8x-2 para xneq2 e f(2)=L. O conteúdo envolve continuidade de funções e cálculo de limites; vamos precisar achar limxto2x^3-8x-2 e igualar a f(2)=L a esse limite.

Passo 2

Pela definição, uma função é contínua em um ponto p se limxto pf(x)=f(p). Aqui, queremos limxto2f(x)=L. Então o alvo é calcular limxto2x^3-8x-2.

Passo 3

O numerador x^3-8 é uma diferença de cubos, já que 8=2^3. A fatoração fica assim:
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Isso significa que, para xneq2, a expressão simplifica para:
x^3 - 8x - 2 = x^2 + 2x + 4

Passo 4

Agora é só calcular o limite da parte simplificada:
limx to 2 (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2cdot2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Para garantir a continuidade, o valor de L tem que coincidir com esse limite.

Resposta

L = 12

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