IFRN - Campus Natal Central Licenciatura em Física
Equações Diferenciais Ordinárias (2024.2)
Prof. Tibério Alves, DSc
8 de fevereiro de 2025
Lista III - Método das séries de potências
Questão 1. Encontre a solução por séries de potências de x (em torno de x0=0 ), para as seguintes EDOs (expresse os primeiros 4 termos de cada série).
(x^2-1) y^prime prime+4 x y^prime+2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
(x^2-1),y''+4x,y'+2y=0
em torno de x0=0 por séries de potências e quer os primeiros quatro termos de cada uma das duas soluções independentes. Vamos usar o método clássico de assumir
y=sumn=0^inftyanx^n,
calcular y' e y'', substituir na EDO e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Supondo
y=sumn=0^inftyanx^n, y'=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2,
substituímos em (x^2-1),y''+4x,y'+2y=0. Isso dá
x^2y''-y''+4x,y'+2y =sumn=2^infty n(n-1)anx^n -sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2 +4sumn=1^infty n,anx^n +2sumn=0^infty anx^n =0

Passo 3

No segundo somatório fazemos k=n-2, obtendo
-sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
Os demais termos todos têm potência x^n. Reagrupando em torno de x^n dá a condição
n(n-1)an+4n,an+2an-(n+2)(n+1)an+2=0,
isto é
l[n(n+3)+2r]an=(n+2)(n+1)an+2
Mas n(n+3)+2=n^2+3n+2=(n+1)(n+2), então a recorrência simplifica para
(n+1)(n+2),an=(n+2)(n+1),an+2 Longrightarrow an+2=an (forall n>=0)

Passo 4

Da relação an+2=an segue que todos os coeficientes de ordem par são iguais a a0 e todos os de ordem ímpar são iguais a a1. Logo a solução geral é
y=a0summ=0^inftyx^2m+a1summ=0^inftyx^2m+1
Isso corresponde a duas soluções independentes: a solução par ( a0=1,a1=0) e a solução ímpar ( a0=0,a1=1).

Passo 5

Extraindo os primeiros quatro termos de cada série:
Solução par ( y1):
y1=1 + x^2 + x^4 + x^6 + cdots
Solução ímpar ( y2):
y2=x + x^3 + x^5 + x^7 + cdots

Resposta

y1 = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + dots
y2 = x + x^3 + x^5 + x^7 + dots

Exercícios relacionados