IFRN - Campus Natal Central Licenciatura em Física
Equações Diferenciais Ordinárias (2024.2)
Prof. Tibério Alves, DSc
8 de fevereiro de 2025
Lista III - Método das séries de potências
Questão 1. Encontre a solução por séries de potências de
(em torno de
), para as seguintes EDOs (expresse os primeiros 4 termos de cada série).
.
Equações Diferenciais Ordinárias (2024.2)
Prof. Tibério Alves, DSc
8 de fevereiro de 2025
Lista III - Método das séries de potências
Questão 1. Encontre a solução por séries de potências de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
em torno de
por séries de potências e quer os primeiros quatro termos de cada uma das duas soluções independentes. Vamos usar o método clássico de assumir
calcular
e
, substituir na EDO e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Supondo
substituímos em
. Isso dá
Passo 3
No segundo somatório fazemos
, obtendo
Os demais termos todos têm potência
. Reagrupando em torno de
dá a condição
isto é
Mas
, então a recorrência simplifica para
Passo 4
Da relação
segue que todos os coeficientes de ordem par são iguais a
e todos os de ordem ímpar são iguais a
. Logo a solução geral é
Isso corresponde a duas soluções independentes: a solução par (
) e a solução ímpar (
).
Passo 5
Extraindo os primeiros quatro termos de cada série:
Solução par (
):
Solução ímpar (
):