Determine se a função T: R^3 R^3 dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz A tal que T(X)=AX para cada X=(cx y z). Caso não seja, explique por que não é.
T(x, y, z)=(z+y, x-y, x^2-z^2);

Passo 1

O enunciado define
e pede para verificar se é uma transformação linear de em e, em caso afirmativo, encontrar a matriz que representa . O conteúdo envolvido é o de transformações lineares, condições de linearidade (adição e homogeneidade) e matrizes de transformações.

Passo 2

Uma aplicação T é linear se e somente se, para quaisquer vetores u,vinR^3 e escalar alphainR, tivermos
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha,u)=alpha,T(u)
Se alguma dessas propriedades falhar, T não é linear.

Passo 3

Verificamos a homogeneidade em um caso simples: seja alpha=2 e X=(x,y,z). Então
T(2x,2y,2z) =l(2y+2z,;2x-2y,;(2x)^2-(2z)^2r) =(2(y+z),,2(x-y),,4(x^2-z^2))
Por outro lado,
2,T(x,y,z) =2l(y+z,;x-y,;x^2-z^2r) =(2(y+z),,2(x-y),,2(x^2-z^2))
Como a terceira componente difere ( 4(x^2-z^2)neq2(x^2-z^2) em geral), a homogeneidade falha.

Resposta

A aplicação T não é uma transformação linear, pois não satisfaz a propriedade de homogeneidade; portanto, não existe matriz A tal que T(X)=AX.

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