Determine se a função dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz tal que para cada . Caso não seja, explique por que não é. T(x, y, z)=(z+y, x-y, x^2-z^2);
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se é uma transformação linear de em e, em caso afirmativo, encontrar a matriz que representa . O conteúdo envolvido é o de transformações lineares, condições de linearidade (adição e homogeneidade) e matrizes de transformações.
Passo 2
Uma aplicação T é linear se e somente se, para quaisquer vetores u,vinR^3 e escalar alphainR, tivermos
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha,u)=alpha,T(u)
Se alguma dessas propriedades falhar, T não é linear.
Passo 3
Verificamos a homogeneidade em um caso simples: seja alpha=2 e X=(x,y,z). Então